Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

118 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètrePar définition du flot x ′ = exp(tX)(x), les fonctions :h i (x; t, λ 1 , . . .,λ r ) = exp ( tλ 1 X 1 + · · · + tλ r X r )(x i )satisfont le système d’équations différentielles ordinaires :dh idt = ξ i(h 1 , . . .,h n ) (i =1... n),ou bien, de manière équivalente :dh ir∑(6)dt = λ j ξ ji (h 1 , . . .,h n ) (i = 1 ... n),j=1avec bien sûr la condition initiale h(x; 0, λ) = x lorsque t = 0. D’unautre côté, d’après le paragraphe qui précède le Théorème p. 104, lesfonctions f i des équations de transformations d’origine x ′ i = f i(x; a)satisfont les équations différentielles fondamentales :(4)r∑k=1∂f i∂a k˜ψjk (a) = ξ ji (f 1 , . . ., f n )(i = 1 ...n; j = 1 ...r).La correspondance recherchée entre les équations de transformationsinitiales x ′ = f(x; a) du groupe et ses équations finies canoniques x ′ =h(x; t, λ) est maintenant fournie par la proposition suivante, qui résoutla première question.Proposition. Si les paramètres a 1 , . . .,a r sont les uniques solutionsa k (t, λ) du système d’équations différentielles ordinaires du premierordre :da kr∑dt = λ j ˜ψjk (a) (k = 1 ...r)j=1satisfaisant la condition initiale d’après laquelle a(0, λ) = e est l’élémentidentité, alors les équations suivantes sont identiquement satisfaites:f i(x; a(t,λ))≡ exp(t λ1 X 1 + · · · + t λ r X r)(xi ) = h i(x; t,λ1 ,... ,λ r)(i = 1 ...n)et elles montrent comment les fonctions h i se déduisent des fonctions f i .Preuve. En effet, multiplions (4) ci-dessus par λ j et sommons parrapport à j pour j allant de 1 jusqu’à r, ce qui nous donne :r∑ ∂f ir∑r∑λ j ˜ψjk (a) = λ j ξ ji (f 1 , . . .,f n ) (i =1... n).∂a kk=1j=1j=1