Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 89i : C r → C r défini dans un voisinage de e avec i(e) = e tel que :a · i(a) = i(a) · a = e,à savoir : i(a) représente l’inverse de a pour la structure de groupe, etde plus, a ↦→ i(a) est une application analytique, nécessairement undifféomorphisme local au voisinage de e. En particulier, si l’on réécritmaintenant que la composition 6 :f ( f(x; a); b ) = f(x; a · b)est exécutée par la multiplication de groupe entre les paramètres, on endéduit formellement que :f ( f(x; a); i(a) ) ≡ f(x; a·i(a)) ≡ x ≡ f(x; i(a)·a) ≡ f ( f(x; i(a)); a ) ,ce qui montre que x ↦→ f i(a) (x) est le difféomorphisme inverse de x ↦→f a (x).Il sera utile pour la suite de mémoriser le fait que dans la terminologiede Lie, un « groupe continu fini de transformations » signifieprécisément une action analytique locale effective 7 x ′ = f(x; a), surune variété de dimension finie n, d’un groupe de Lie analytique local dedimension r. Lie n’insiste pas en général sur l’hypothèse sous-entendued’analyticité, mais il utilise à la place le mot « continu », afin de marquerle contraste entre sa propre théorie et la théorie de Galois discrètedes groupes de substitutions des racines d’une équation algébrique 8 .Ce que nous appelons aujourd’hui un groupe de Lie local, à savoirun espace C r (ou R r ) localisé autour d’un certain point e et munid’une « loi de multiplication de groupe » analytique locale (a, b) ↦−→m(a, b) = a · b et d’une application « élément inverse » a ↦→ i(a), estappelé par Engel et Lie « groupe des paramètres 9 d’un groupe de transformations».6 Dans la suite, pour tout a fixé, le difféomorphisme local x ↦→ f(x; a) seraoccasionnellement écrit x ↦→ f a (x).7 Est effective ([125]) une action locale de groupe de Lie local telle que pour toutparamètre a distinct du paramètre identité, le difféomorphisme local x ↦→ f a (x) nese réduit pas à l’identité. On démontre aisément qu’une action analytique de groupede Lie est effective si et seulement si les paramètres de la famille de transformationsqu’elle définit sont essentiels.8 Voir [68] pour une excellente étude historique.9 Les pages 401–429 du volume I de la Theorie der Transformationsgruppen([40]) sont consacrées à leur étude générale.