Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

66 2.6. Critique par Lie de l’erreur principale de Helhmoltzqui sont obtenues à partir de X 4 , X 5 et X 6 en supprimant tous les termesd’ordre 2. Alors l’hypothèse que les six transformations infinitésimalesinitiales X 1 , . . .,X 6 forment une algèbre de Lie 30 implique queles six transformations réduites p, q, r, L 1 , L 2 et L 3 forment elles aussiune algèbre de Lie. Par conséquent, d’après le troisième théorème fondamentalde Lie (§ 4.9), les six transformations infinitésimales réduitesp, q, r, L 1 , L 2 et L 3 engendrent à nouveau un groupe de transformations,qui constitue en fait un certain sous-groupe à six paramètres dugroupe affine complet de l’espace à trois dimensions.Par une série d’exemples que Lie avait déjà fait paraître en 1892dans les Comptes Rendus de l’Académie, Engel et Lie montrent combienil est périlleux d’extrapoler les axiomes supposés valides dans desrégions locales d’extension finie au sujet du comportement de pointsqui sont infiniment proches les uns des autres. Ainsi l’existence d’un, etd’un seul invariant généralisé (distance abstraite) entre paires de pointsne se transfère-t-elle pas fidèlement d’un univers à l’autre. En effet, dansle § 94 p. 237 ci-dessous, Engel et Lie décrivent deux exemples élémentaires:• un groupe X 1 , . . .,X 6 pour lequel deux points ont un et un seulinvariant, alors que pour le groupe réduit p, q, r, L 1 , L 2 , L 3 , deux pointsont deux invariants fonctionnellement indépendants 31 ;• un autre groupe X 1 , . . .,X 6 pour lequel deux points n’ont aucuninvariant, alors que pour le groupe réduit p, q, r, L 1 , L 2 , L 3 , deux pointsont un et un seul invariant.Voilà donc l’erreur principale de Helmholtz : supprimer « à la physicienne» tous les termes d’ordre supérieur à 1, ce qui détruit complètementl’harmonie euclidienne des corps rigides qui se donnait pour évidenteà l’intuition. Et l’axiome de monodromie recèle un phénomèneencore plus troublant. Dans le Théorème 37 p. 215 ci-dessous, sans utiliserles axiomes III et IV de Helmholtz, Engel et Lie trouvent abstraitementonze groupes réels pour lesquels deux points ont un et un seulinvariant, tandis qu’un nombre de point supérieur à deux n’a pas d’invariantessentiel. Au cours de cette recherche, ils découvrent un groupeparticulier, le groupe (24) p. 243, qui satisfait l’axiome de monodromie,alors que son groupe réduit ne le satisfait pas : même l’axiome le plus30 Voir le § 4.9 et la note p. 241.31 La raison formelle de ces décalages de structure est simple d’un point de vueanalytique : le passage du groupe (21) de dimension 6 au groupe réduit (21’) du § 94p. 237 supprime tellement de termes, que le groupe réduit devient de dimension 4 !