Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 173Enfin, si nous nous imaginons que trois points distincts : x k , y k , z k(k = 1, 2, 3) sont fixés, alors chaque autre quatrième point x 4 , y 4 , z 4peut encore occuper toutes les positions x ′ 4 , y′ 4 , z′ 4 dans un certain voisinagede x 4 , y 4 , z 4 qui satisfont les trois équations :⎧⎪⎨J ( ) ( )x 1 , y 1 , z 1 ; x ′ 4, y 4, ′ z 4′ = J x1 , y 1 , z 1 ; x 4 , y 4 , z 4(15) J ( x 2 , y 2 , z 2 ; x ′ 4⎪⎩, y′ 4 , ) ( )z′ 4 = J x2 , y 2 , z 2 ; x 4 , y 4 , z 4J ( x 3 , y 3 , z 3 ; x ′ 4 , y′ 4 , ( )4) z′ = J x3 , y 3 , z 3 ; x 4 , y 4 , z 4 .Si maintenant, parmi ces trois équations, il n’y avait que deux d’entreelles qui étaient indépendantes relativement à x ′ 4, y ′ 4, z ′ 4, la troisième découlantpar exemple des deux premières, alors parmi les s − 1 équations(8), les s − 3 dernières découleraient aussi toujours des deuxpremières, donc les équations (9) ne pourraient jamais être tirées deséquations (8), si grand que soit choisi s. Par conséquent, les équationssuivantes :x ′ 4 = x 4, y ′ 4 = y 4, z ′ 4 = z 4doivent déjà se tirer des équations (15), ce qui veut dire qu’après fixationde trois points qui sont mutuellement en position générale, tous lespoints de l’espace doivent rester généralement au repos * . 23dépendent d’au moins un paramètre supplémentaire. Au total, il y a au moins deuxparamètres.*Entre autres choses, il découle encore de là que les équations :(A) J ( x ′ k, y ′ k, z ′ k; x ′ , y ′ , z ′) = J ( x k , y k , z k ; x, y, z ) (k =1, 2, 3)sont résolubles par rapport à x ′ , y ′ , z ′ . Si on soumet les quantités :x ′ k , y′ k , z′ k , x k, y k , z k aux équations :J ( x ′ k , y′ k , z′ k ; x′ j ,y′ j , ) ( )z′ j = J xk , y k , z k ; x j , y j , z j(k, j =1, 2, 3,k < j),et si on les interprète comme des paramètres, la résolution des équations (A) parrapport à x ′ , y ′ , z ′ représentera, comme on s’en convaincra facilement, le groupe leplus général de l’espace pour lequel les deux points : x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 possèdentl’invariant : J ( x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2). Ce groupe comprend évidemment le groupe :X 1 f . . . X m f, mais il n’est pas nécessairement continu ; néanmoins, il peut se décomposeren plusieurs familles séparées de transformations continues (voir le Chap. 18du Tome I).Nous voulons encore mentionner que l’on obtient les équations finies du groupe :X 1 f . . . X m f à partir des équations (A), lorsqu’on choisit la résolution en x ′ , y ′ , z ′qui pour : x ′ k = x k, y ′ k = y k, z ′ k = z k (k = 1, 2, 3) se réduit aux équations : x ′ = x,y ′ = y, z ′ = z.23 Ici, dans les applications, pour un groupe concret dont l’invariant J est connuexplicitement en termes de fonctions algébriques ou transcendantes, il est a prioripossible, d’après ce qui vient d’être vu, de résoudre les équations (A) par rapport à