Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

62 2.5. Linéarisation de l’isotropiel’Axiome III) qu’il reste encore un, et un seul degré de liberté autorisantun mouvement continu ; ce mouvement dépend alors d’un, et d’unseul paramètre, et nous venons de signaler que Engel et Lie ont clarifiécette affirmation. L’axiome de monodromie demande alors que la« rotation 20 » (sans retour en arrière) du corps rigide autour de (n−1) deses points supposés fixés doit le reconduire, au bout d’un temps fini, à saposition initiale : chaque point en lui revient coïncider avec la positionqu’il occupait au début. Cet axiome qui exclut donc tout mouvement enspirale (contraction ou dilatation des « longueurs » après un tour) et toutmouvement en hélice (décalage le long d’un axe après un tour) sembleparler un langage évident pour l’intuition euclidienne. Engel et Lie reformulerontcet axiome de manière un peu plus précise 21 en utilisant lanotion de groupe à un paramètre, essentiellement absente du mémoirede Helmholtz.2.5. Linéarisation de l’isotropie. Les métriques quadratiques deGauss E(u, v) du 2 + 2 F(u, v) dudv + G(u, v) dv 2 et de Riemann∑ ni,j=1 g ij(x) dx i dx j que Helmholtz cherche à ressaisir s’exprimenten termes infinitésimaux, et c’est certainement pour cette raison queHelmholtz a considéré comme naturel d’interpréter tous ses axiomesdirectement dans l’infiniment petit 22 .J’utiliserai les hypothèses II, III et IV seulement pour despoints dont les différences de cordonnées infiniment petites. Aussi lacongruence indépendante des limites sera supposée valide seulementpour des éléments spatiaux [76], pp. 44–45.Examinons donc comment Helmholtz procède sur le plan mathématique.Soient (u, v, w) les coordonnées d’un point appartenant au corpsrigide dans une première situation de ce corps, et soient (r, s, t) les coordonnéesd’un même point dans une seconde situation du corps. Alorsces coordonnées (r, s, t) dépendent en toute généralité de (u, v, w) et desix constantes arbitraires qui expriment les degrés de liberté. Helmholtzsous-entend que (u, v, w) ↦−→ (r, s, t) est un difféomorphisme — c’est20 La terminologie utilisée par Helmholtz montre que la démonstration mathématiquea priori qu’il met en œuvre est sous-tendue, dans l’intuition explorante, parl’idée que l’on a déjà affaire au groupe orthogonal euclidien. Pour être rigoureux, ilfaudrait qualifier ce mouvement non pas de « rotation », mais de mouvement continuà un paramètre.21 Voir la condition E) p. 237 ci-dessous, qui exprime tout simplement que lemouvement à un paramètre encore possible est périodique.22 Ici se trouve son erreur d’inadvertance principale, cf. le § 2.6 ci-dessous.