Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

98 3.4. Introduction des transformations infinitésimalesreprésentent une famille de ∞ r transformations qui embrasse, après unprolongement analytique éventuel, toutes les ∞ r transformations initiales:x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ).Ainsi Lie réalise-t-il et confirme-t-il son idée d’épuration axiomatique.En répondant à Engel que l’on doit s’autoriser à changer éventuellementde paramètres 14 , on peut toujours élargir le domaine initial d’existencepour capturer l’identité et les transformations inverses. À la contreexemplificationcontrariante répond donc la dialectique complexifiantede vérités supérieures qui doivent être quêtées sans relâche.Afin de poursuivre et de rendre plus compréhensible cet énoncé,il nous faut à présent exposer : 1) les transformations infinitésimales(§ 3.4) ; 2) les équations différentielles fondamentales (§ 3.5) ; 3) la reconstitutiondes équations finies du groupe à partir d’une collection detransformations infinitésimales indépendantes (§ 3.6) ; 4) le théorèmede Clebsch-Lie-Frobenius sur les systèmes complets et indépendantsd’équations aux dérivées partielles (§ 3.7).3.4. Introduction des transformations infinitésimales. Soit ε unequantité infiniment petite au sens de Leibniz, ou une quantité arbitrairementpetite soumise au formalisme rigoureux de Weierstrass. Pourchaque k ∈ {1, 2, . . ., r} fixé à l’avance, considérons le point :x ′ i = f i(x; e1 , . . .,e k + ε, . . .,e n)= x i + ∂f i∂a k(x; e) · ε + · · ·(i = 1 ···n)qui est déplacé infinitésimalement en partant du point initial x = f(x; e)en ajoutant l’incrément infime ε seulement à la k-ième coordonnée e kdu paramètre identité e. Grâce à un développement de Taylor à l’ordre 1,on peut interpréter ce mouvement spatial infinitésimal en introduisant,pour tout k ∈ {1, 2, . . ., r}, le champ de vecteurs (ainsi qu’une notationraccourcie appropriée pour désigner ses coefficients) :X e k := n∑i=1∂f i(x; e) ∂ :=∂a k ∂x in∑i=1ξ ki (x) ∂∂x i,14 En changeant de paramètre dans la famille x ′ = χ(λ)x, on retrouve évidemmentle groupe complet des dilatations x ′ = ζ x.