Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

52 2.2. Incomplétudes riemanniennesProblème de Riemann-Helmholtz« Problème » et non « théorème », parce que ni Riemann ni Helmholtzne l’ont réellement résolu, ce problème demande précisément parquelles propriétés l’espace euclidien tridimensionnel muni de la métriquepythagoricienne pourrait être caractérisé parmi toutes les géométriespossibles. Mais au moment de soulever la question, Riemann étaitcertainement très loin de soupçonner l’incroyable diversité des géométriesque Sophus Lie allait découvrir par des procédés algébriques uniformes,engendrant malgré lui, à la suite du fameux Programme d’Erlangen([86]), une prolifération de groupes et de sous-groupes de transformations(Chapitre 5).Le problème surgit de lui-même : nécessité sybilline, assertionméta-mathématique, vision d’une question adéquate. Riemann, commeon le sait, suit tous les fils d’Ariane de l’ouverture. À la donationd’un sens univoque dans l’expérience physique du monde répond doncla surrection articulée des questionnements mathématiques purs. Faitd’« expérience mathématique » : les hypothèses abstraites possibles sontsoumises à la variation, à la diversité, à la multiplication, à la ramification,et à l’éclatement.Ces faits, comme tous les faits possibles, ne sont pas nécessaires; ils n’ont qu’une certitude empirique, ce sont des hypothèses.[133], p. 281.2.2. Incomplétudes riemanniennes. Dans la troisième et dernière partiede son Habilitationsvortrag, Riemann annonce en quelques lignesqu’il a complètement résolu 1 le problème de caractériser l’espace euclidienstandard parmi les multiplicités à trois dimensions munies d’unemétrique quadratique infinitésimale définie positive.Première solution, la plus simple et la plus économique sur le plandémonstratif : demander que la mesure de courbure sectionnelle soitnulle 2 en tout point suivant trois directions de surface indépendantes 3 .1 Deux raisons ont convaincu les mathématiciens des années 1868 à 1890 que leproblème n’était en fait pas complètement résolu : 1) les assertions de Riemann n’ontjamais été suivies de démonstrations détaillées, même à titre posthume ; 2) les raisonnementsde Helmholtz étaient entachés d’erreurs et d’imprécisions mathématiques.2 Cf. le § 1.20 ci-dessus.3 À notre connaissance, l’examen du Nachlass n’a fourni aucun document exploitablequi permette aux historiens des mathématiques de se faire une idée des démonstrationsde Riemann. Contemporain de Klein, le bibliothécaire Distel de l’universitéde Göttingen savait en revanche que le Nachlass contenait des notes intéressantes surla théorie des nombres et sur la distribution des zéros de la fonction zeta de Riemann,