Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

124 3.7. Le théorème de Clebsch-Frobeniusalors les r transformations infinitésimales :r∑W k (f) = X (µ)k(f) (k = 1 ...r)µ=1en les nr variables x (µ)ine satisfont aucune relation de la forme :n∑ ( (1)χ k x 1 ,... ,x(1) n ,...... ,x (r) )1 ,...,x(r) n · Wk (f) ≡ 0.k=13.7. Le théorème de Clebsch-Lie-Frobenius. Question préliminaire :Quelles sont les solutions générales ω à une équation scalaire aux dérivéespartielles du premier ordre Xω = 0 associée à un champ devecteurs X = ∑ ni=1 ξ i(x) ∂∂x ià coefficients analytiques ?Les relocalisations au voisinage d’un point générique étant autorisées,nous pouvons supposer, après une renumérotation éventuelledes variables, que ξ n ne s’annule pas en un point que nous choisissonscomme origine d’un système de coordonnées (x 1 , . . .,x n ). En divisantpar ξ n (x), il est équivalent de rechercher les fonctions ω qui sont annihiléespar l’opérateur différentiel :X =∑n−1i=1ξ i (x)ξ n (x)∂+ ∂ ,∂x i ∂x ntoujours noté X et qui satisfait maintenant X(x n ) ≡ 1. Rappelons quele système d’équations différentielles ordinaires qui définit les courbesintégrales de ce champ X, à savoir le système :dx 1dt = ξ ( )1 x(t)( ), . . ....,ξ n x(t)dx n−1dtavec la condition initiale pour t = 0 := ξ ( )n−1 x(t)( ) ,ξ n x(t)dx n (t)dtx 1 (0) = x 1 , . . ....,x n−1 (0) = x n−1 , x n (0) = 0,= 1,est résoluble ; plus précisément, il possède une unique solution(x 1 (t), . . .,x n−1 (t), x n (t)) qui est analytique dans un voisinage del’origine. En vérité, nous connaissons déjà la technique de résolution.Tout d’abord, par une intégration évidente, on a x n (t) = t ; ensuite, les(n − 1) autres fonctions x k (t) sont données par la merveilleuse formuleexponentielle (Proposition p. 110) :x k (t) = exp(tX)(x k ) = ∑ l0t ll! Xl (x k ) (k = 1 ··· n−1).