Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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128 3.7. Le théorème de Clebsch-FrobeniusAu contraire, lorsque le crochet [ ]X 1 , X 2 ne peut pas être exprimécomme combinaison linéaire de X 1 et de X 2 (même après relocalisationen un point générique), l’équation [ ]X 1 , X 2 f = 0 doit être considéréecomme nouvelle et nécessaire. Ce cas se produit par exemple avecX 1 = ∂∂x 1et X 2 = ∂ ∂∂x 2+ x 1 ∂x 3d’où [ ]X 1 , X 2 =∂∂x 3.Ainsi, en partant de deux opérateurs distincts, la considération d’untroisième opérateur peut s’avérer incontournable. Autrement dit, le principede différenciation par examen de la dyade force à envisager le multiplegénéral.Considérons donc maintenant d’emblée un nombre quelconqueq 2 d’opérateurs d’ordre 1 à coefficients analytiques :X k =n∑i=1ξ ki (x 1 , . . .,x n ) ∂∂x i(k = 1 ···q).Tout d’abord, il peut se produire qu’il existe des relations de dépendancede la forme :q∑χ k (x) · X k ≡ 0,k=1où les χ k (x) sont des fonctions analytiques non toutes nulles. Aprèsrelocalisation et renumérotation éventuelle, on peut résoudre une telleéquation sous la forme : X q = τ 1 X 1 +· · ·+τ q−1 X q−1 . Si une telle équationrésolue non triviale existe, alors parmi les q équations X 1 f = · · · =X q−1 f = X q f = 0, la dernière sera manifestement conséquence des(q −1) premières, et elle pourra donc d’ores et déjà être laissée de côté.Aussi est-il parfaitement légitime, lorsqu’on veut résoudre les équationsX k f = 0, de supposer qu’il n’existe pas de telle relation de dépendance.Après relocalisation éventuelle et renumérotation éventuelle desvariables, cela revient, d’après un théorème d’algèbre linéaire, à admettreque les opérateurs X 1 , . . .,X q sont résolubles par rapport aux qquotients différentiels ∂f∂x i, i = 1, . . .,q, autrement dit, qu’il existe unematrice q ×q de fonctions analytiques ̟jk (x), inversible dans un ouvertrelocalisé, telle que les nouveaux opérateurs Y j := ∑ qk=1 ̟jk(x) X ksont de la forme normalisée :Y j = ∂∂x j+∑q+1inθ ji (x) ∂∂x i(j = 1 ···q).Bien entendu, l’étude du sytème X 1 f = · · · = X q f = 0 se ramène àcelle du système Y 1 f = · · · = Y q f = 0, puisque le déterminant de lamatrice ̟jk (x) ne s’annule en aucun point de l’ouvert relocalisé.
Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 129D’après l’observation fondamentale, les solutions communes possiblesaux q équations X 1 f = · · · = X q f = 0 satisfont aussi toutes leséquations par paires de la forme :X i(Xk (f) ) − X k(Xi (f) ) = 0(i, k = 1 ··· q).Et maintenant, deux circonstances distinctes peuvent se produire.Premièrement, chacune des q(q−1) équations ainsi obtenues peut2s’avérer être conséquence des précédentes. Tel est le cas si et seulementsi, pour tout i q et pour tout k q, une relation de dépendance de laforme :X i(Xk (f) ) − X k(Xi (f) ) = χ ik1 (x) X 1 (f) + · · · + χ ikq (x) X q (f)est satisfaite. CLEBSCH dit alors les q équations indépendantes X 1 (f) =· · · = X q (f) = 0 forment système complet.Mais en général, c’est le second cas, plus délicat, qui se produit.Parmi les nouvelles équations :X i(Xk (f) ) − X k(Xi (f) ) = 0,un certain nombre, disons s 1, seront indépendantes des q équationsX 1 f = · · · = X q f = 0. Ajoutons alors ces nouvelles équations aux qéquations initiales, notons-les :X q+1 (f) = 0, . . ....,X q+s (f) = 0,et traitons maintenant le système obtenu de ces q + s équations exactementcomme nous avons traité précédemment les q équations de départ.Bien entendu, la relocalisation autour d’un point générique est toujoursadmise. Comme on ne peut pas obtenir plus de n équations X i (f) = 0qui sont indépendantes l’une de l’autre en un point générique, on doitaboutir, au bout d’un nombre fini d’étapes, à un système complet quiconsiste en un nombre q n d’équations indépendantes.Proposition. ([40], p. 86) La détermination des solutions communes deq équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre X 1 (f) =· · · = X q (f) peut toujours être ramenée, par différentiation et éliminationalgébrique linéaire, à l’intégration d’un système complet d’équationsindépendantes.On peut donc supposer maintenant sans perte de généralité que lesystème à étudier X 1 f = · · · = X q f = 0 est complet et qu’il est forméde q équations indépendantes.
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