Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

130 3.7. Le théorème de Clebsch-FrobeniusProposition. ([40], pp. 86–87) Si l’on résout un système complet et indépendantde q équations :X 1 (f) = 0, . . ....,X q (f) = 0∂ ∂par rapport à q quotients différentiels, disons∂x n−q+1, . . .,∂x naprès renumérotationéventuelle des variables, alors les q équations obtenues :(4) Y k (f) = ∂fn−q∑+∂x n−q+ki=1η ki∂f∂x i= 0 (k =1··· q)satisfont les relations de commutation par paires :(5) Y j(Yk (f) ) − Y k(Yj (f) ) = 0 (j, k = 1 ··· q).Preuve. En effet, observons que l’expression semi-développée :Y j(Yk (f) ) −Y k(Yj (f) ) =∑n−qi=1[Yj (η ki ) −Y k (η ji ) ] ∂f∂x i(j, k =1··· q)∂ ∂ne fait intervenir aucun des quotients différentiels∂x n−q+1, . . .,∂x n,puisque la dérivation Y j (1) du coefficient constant égal à 1 de la premièredérivation∂f∂x n−q+kde Y k s’annule trivialement. Mais alors unerelation de dépendance linéaire de la forme :(Y j Yk (f) ) (− Y k Yj (f) ) = ∑ ( n−q∂f ∑)∂fcoeff · + η ki∂x n−q+k ∂xi=1 ine peut manifestement être possible que si tous les coefficients présentss’annulent.□La généralisation conjointe du Théorème p. 108 et de la Propositionp. 125 à un système complet de q équations indépendantes s’énoncealors comme suit 33 .Théorème. (CLEBSCH-LIE-FROBENIUS) Tout système complet forméde q équations résolues :n−q∂f ∑+ η ki (x 1 , . . .,x n ) ∂f = 0 (k = 1 ···q)∂x n−q+k ∂xi=1idont les coefficients η ki sont analytiques au voisinage d’un point(x 0 1 , . . .,x0 n ) possède n−q solutions indépendantes ω 1(x), . . .,ω n−q (x)33 Pour la démonstration détaillée de ce théorème standard de calcul différentielaujourd’hui dit « de Frobenius », outre [40], on pourra consulter [88, 154, 148, 157,69], ou bien compléter les arguments en s’inspirant des raisonnements qui précèdent.