Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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258 Division V. Chapitre 21. § 96.diverses. Cela réside dans la nature des choses : Monsieur de Helmholtz,qui n’avait pas à sa disposition les concepts et la langue spécialisée instruitede la théorie des groupes, a dû s’aider de longues circonlocutionspar lesquelles, cependant, il n’a pas pu prendre en compte toutes lesexceptions imaginables ; ainsi, il est tout à fait compréhensible que sesaxiomes apparaissent avoir d’autant plus de sens variés qu’on les examineplus soigneusement. Maintenant, bien que nous n’affirmions pasavoir donné la seule interprétation possible des axiomes helmholtziens,nous croyons toutefois que nous leur avons attribué l’interprétation laplus intéressante qui soit, celle qui est en accord avec leur teneur ; nousy avons même déjà trop introduit maint lecteur.Nous ne voulons pas rentrer plus avant dans la considération desdiverses conceptions que l’on peut avoir au sujet des axiomes helmholtziens; toutefois, nous voulons encore en discuter brièvement.En effet, la manière dont on peut interpréter ces axiomes dépendpour l’essentiel du fait de savoir si on lit en eux qu’ils doivent être valablessans exception à l’intérieur d’une certaine région, ou si l’on admetqu’ils doivent être valables seulement en général, donc pour des pointsqui sont mutuellement en position générale. Dans les paragraphes 92et 93, nous nous sommes décidés pour la première conception, maisla deuxième possède aussi une certaine légitimité, au moins en ce quiconcerne le troisième axiome helmholtzien, l’axiome sur la libre mobilité.Afin de montrer quelle influence cette conception a sur la portée desaxiomes helmholtziens, nous voulons finalement rechercher encore cequi advient lorsque les axiomes helmholtziens sont satisfaits seulementpar des points qui sont mutuellement en position générale. Nous allonsvoir que ces axiomes ne suffisent alors pas à caractériser les mouvementseuclidiens et non-euclidiens, même si on admet en plus l’axiomede monodromie.Si un groupe réel doit satisfaire les axiomes helmholtziens seulementen ce qui concerne des points qui sont mutuellement en positiongénérale, alors il doit, quand on fait d’abord abstraction de l’axiome demonodromie, posséder les propriétés suivantes : si un point en positiongénérale est fixé, tout autre point en position générale se meut librementsur une surface ; si deux points qui sont mutuellement en position généralesont fixés, tout autre troisième point en position générale se meutlibrement sur une courbe ; si trois points qui sont mutuellement en positiongénérale sont fixés, tous les points restent au repos. Il est clair queles groupes rassemblés à la page 215 satisfont toutes ces exigences etqu’ils sont les seuls à les satisfaire.
Critique des recherches helmholtziennes. 259Si nous admettons en plus l’axiome de monodromie, alors tout unnombre des groupes dont il s’agit seront exclus, parce qu’ils ne satisfontpas l’axiome de monodromie ; mais il reste alors non seulementles mouvements euclidiens et non-euclidiens, mais en outre encore ungroupe, à savoir le groupe 7 à la page 215. On a démontré aux pages 243sq. qu’il satisfait complètement l’axiome de monodromie helmholtzien.Par conséquent, sous les hypothèses posées, l’axiome de monodromiene suffit pas à exclure aussi ce groupe.En définitive [Alles in Allem], nous pouvons énoncer brièvementle résultat du présent paragraphe ainsi :Les mouvements euclidiens et non-euclidiens sont complètementcaractérisés par les axiomes helmholtziens, lorsqu’on interprète cesaxiomes de telle sorte qu’ils doivent être satisfaits sans exception partous les points à l’intérieur d’une certaine région ; et quand on les interpètede cette manière, l’axiome de monodromie est alors superflu.Si au contraire on demande seulement que les axiomes helmholtzienssoient satisfaits par des points qui sont mutuellement en position générale,alors ces axiomes ne sont pas suffisants pour caractériser les mouvementseuclidiens et non-euclidiens, et il ne suffisent d’ailleurs mêmepas lorsqu’on admet en plus l’axiome de monodromie.Nous avons vu que les axiomes helmholtziens suffisent certes pourla caractérisation des mouvements euclidiens et non euclidiens, lorsqu’onles interpète d’une certaine manière, mais qu’ils contiennent deséléments superflus quand on les interprète ainsi, et par conséquent, ilsne représentent pas une véritable solution du problème de Riemann-Helmholtz. Dans les deux chapitres suivants, nous allons maintenanttraiter le problème de Riemann-Helmholtz d’un point de vue nouveau,et nous allons le résoudre de deux façons différentes, à savoir, dans leChapitre 22, en établissant certains axiomes qui se réfèrent à des pointsinfiniment voisins, et dans le Chapitre 23, via des axiomes qui se réfèrentà des points finiment éloignés.
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