Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 269des mouvements euclidiens 2 , soit à l’un des deux groupes de mouvementsnon-euclidiens de cet espace, et par conséquent dans le deuxièmecas ou bien au groupe projectif réel continu à six paramètres par lequella surface imaginaire 3 : x 2 1 + x2 2 + x2 3 + 1 = 0 reste invariante, oubien au groupe projectif réel continu de la surface réelle non réglée :x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 1 = 0.Nous voyons ainsi que dans l’espace trois fois étendu, la libre mobilitédans l’infinitésimal suffit parfaitement pour caractériser les mouvementseuclidiens et non-euclidiens, ce qui offre un nouvel exempledu fait que l’espace trois fois étendu se distingue essentiellement del’espace deux fois étendu.Nous pouvons maintenant indiquer aussi immédiatement tous lesgroupes projectifs réels continus de l’espace ordinaire, qui possèdent lalibre mobilité dans l’infinitésimal en un point de position générale.Chaque groupe projectif G de cette espèce est en effet semblable,via une transformation ponctuelle réelle, à l’un des trois groupes duthéorème démontré à l’instant. Mais d’après le Théorème 19, p. 292,chacun de ces groupes peut être transformé à nouveau en un groupeprojectif seulement au moyen d’une transformation projective, donc onobtient que la transformation ponctuelle réelle par laquelle le groupe Gest semblable à l’un de nos trois groupes, est projective. Enfin, si noustenons encore compte du fait que l’un des groupes du Théorème 40possède la libre mobilité dans l’infinitésimal en chaque point réel del’espace sans exception, tandis que les deux autres groupes ne possèdentcette propriété que dans une portion de l’espace, nous pouvons énoncernotre résultat de la manière suivante :Théorème 41. Si un groupe projectif réel continu de l’espace ordinairetrois fois étendu possède la libre mobilité dans l’infinitésimal entous les points réels de cet espace sans exception, alors ce groupe esttransitif à six paramètres et il est constitué de toutes les transformationsprojectives réelles par l’action desquelles reste invariante une surfaceimaginaire non-dégénérée du second degré qui est représentée par uneéquation réelle.2 Six générateurs sont : p 1 , p 2 , p 3 et x 2 p 1 − x 1 p 2 , x 3 p 1 − x 1 p 3 , x 3 p 2 − x 2 p 3 .3 Six générateurs dans l’un et l’autre cas sont : p 1 , p 2 , p 3 et ±p 1 + x 1 (x 1 p 1 +x 2 p 2 + x 3 p 3 ), ±p 2 + x 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 ), ±p 3 + x 3 (x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 ).