Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

92 3.3. Principe de raison suffisante et axiome d’inverseêtre considéré comme effectuant une permutation (différentiable) entretous les points considérés, car en particulier, un difféomorphisme, c’estune bijection. Ainsi, bien que les difféomorphismes agissent sur unensemble de cardinal infini (non dénombrable), ils sont les analoguescontinus des permutations discontinues d’un ensemble fini. En fait, dansles années 1873 à 1880, l’idée fixe de Lie était d’ériger, dans le domainedes continua n-dimensionnels, une théorie qui corresponde à la théoriede Galois des substitutions des racines d’une équation algébrique et quilui soit en tout point analogue.Comme dans les paragraphes qui précèdent, soit donc :x ′ = f(x; a 1 , . . .,a r ) =: f a (x)une famille de difféomorphismes locaux analytiques paramétrée par unnombre fini r de paramètres essentiels. Pour Lie, le seul axiome degroupe vraiment significatif est celui qui demande qu’une telle famillesoit fermée par composition, à savoir que l’on a toujours :f a(fb (x) ) ≡ f c (x),pour un certain c qui dépend de a et de b, toujours avec la restrictionde localité assurant qu’une telle composition ait un sens. En s’inspirantde sa connaissance du Traité des substitutions de Jordan, Lie s’est demandés’il était possible d’économiser les deux autres axiomes standardde la structure de groupe : l’axiome d’existence d’un élément identité,et l’axiome d’existence d’un inverse pour tout élément du groupe.Assertion. ([81]) Soit H un sous-ensemble quelconque d’un groupeabstrait G dont le cardinal est fini : Card H < ∞, et qui est fermépar composition :h 1 h 2 ∈ H toutes les fois que h 1 , h 2 ∈ H.Alors H contient l’élément identité e de G et tout élément h ∈ H possèdeun inverse dans H, de telle sorte que H lui-même est un vrai sousgroupede G.Preuve. En effet, soit h ∈ H arbitraire. La suite infinieh, h 2 , h 3 , . . .,h k , . . . d’éléments de l’ensemble fini H doit nécessairementdevenir périodique : h a = h a+n pour un certain a 1 et pourun certain n 1, d’où e = h n , donc e ∈ H et h n−1 est l’inverse deh. □Dans ses travaux pionniers des années 1873 à 1880 et aussi dansla Theorie der Transformationsgruppen qu’Engel a rédigée sous sadirection entre 1884 et 1893, Lie est parvenu à transférer tous les