Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

128 3.7. Le théorème de Clebsch-FrobeniusAu contraire, lorsque le crochet [ ]X 1 , X 2 ne peut pas être exprimécomme combinaison linéaire de X 1 et de X 2 (même après relocalisationen un point générique), l’équation [ ]X 1 , X 2 f = 0 doit être considéréecomme nouvelle et nécessaire. Ce cas se produit par exemple avecX 1 = ∂∂x 1et X 2 = ∂ ∂∂x 2+ x 1 ∂x 3d’où [ ]X 1 , X 2 =∂∂x 3.Ainsi, en partant de deux opérateurs distincts, la considération d’untroisième opérateur peut s’avérer incontournable. Autrement dit, le principede différenciation par examen de la dyade force à envisager le multiplegénéral.Considérons donc maintenant d’emblée un nombre quelconqueq 2 d’opérateurs d’ordre 1 à coefficients analytiques :X k =n∑i=1ξ ki (x 1 , . . .,x n ) ∂∂x i(k = 1 ···q).Tout d’abord, il peut se produire qu’il existe des relations de dépendancede la forme :q∑χ k (x) · X k ≡ 0,k=1où les χ k (x) sont des fonctions analytiques non toutes nulles. Aprèsrelocalisation et renumérotation éventuelle, on peut résoudre une telleéquation sous la forme : X q = τ 1 X 1 +· · ·+τ q−1 X q−1 . Si une telle équationrésolue non triviale existe, alors parmi les q équations X 1 f = · · · =X q−1 f = X q f = 0, la dernière sera manifestement conséquence des(q −1) premières, et elle pourra donc d’ores et déjà être laissée de côté.Aussi est-il parfaitement légitime, lorsqu’on veut résoudre les équationsX k f = 0, de supposer qu’il n’existe pas de telle relation de dépendance.Après relocalisation éventuelle et renumérotation éventuelle desvariables, cela revient, d’après un théorème d’algèbre linéaire, à admettreque les opérateurs X 1 , . . .,X q sont résolubles par rapport aux qquotients différentiels ∂f∂x i, i = 1, . . .,q, autrement dit, qu’il existe unematrice q ×q de fonctions analytiques ̟jk (x), inversible dans un ouvertrelocalisé, telle que les nouveaux opérateurs Y j := ∑ qk=1 ̟jk(x) X ksont de la forme normalisée :Y j = ∂∂x j+∑q+1inθ ji (x) ∂∂x i(j = 1 ···q).Bien entendu, l’étude du sytème X 1 f = · · · = X q f = 0 se ramène àcelle du système Y 1 f = · · · = Y q f = 0, puisque le déterminant de lamatrice ̟jk (x) ne s’annule en aucun point de l’ouvert relocalisé.