Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 151lieu la transformation x i = f i (x, a 0 ) et en second lieu, une transformationcomplètement déterminée :r∑x ′ i = x i + λ k ξ ki (x) + · · · (i =1··· n)k=1du groupe à r paramètres qui, sous les hypothèses supposées, est engendrépar les r transformations infinitésimales indépendantes :n∑X k (f) = ξ ki (x 1 , . . .,x n ) ∂f(k =1··· r).∂x ii=1Pour terminer ce paragraphe, considérons le cas où les équations x ′ i =f i (x, a), i = 1,... ,n ne contiennent pas la transformation identité dans ledomaine A 1 ⊂ A , en supposant bien entendu comme à la p. 132 que deuxtransformations :x ′ i = f i (x 1 ,... ,x n , a 1 ,... ,a r )x ′′i = f i(x ′ 1 ,... ,x′ n , b 1,... ,b r )exécutées l’une après l’autre, avec a ∈ A 1 et b ∈ A 1 , produisent la transformation:x ′′i = f i (x 1 ,...,x n , c 1 ,... ,c r ) = f i(x1 ,...,x n , ϕ 1 (a,b),... ,ϕ r (a,b) ) .Il en découle que ces transformations satisfont des équations différentiellesfondamentales de la forme :∂x ′ r∑i= ψ kj (a 1 ,... ,a r ) · ξ ji (x ′ 1∂a ,... ,x′ n )kj=1(i = 1 ···n ; k = 1 ··· r),et l’on supposera comme auparavant que le déterminant des ψ kj (a) ne s’annuleen aucun a ∈ A 1 .Dans ce qui va suivre, a 0 1 ,... ,a0 r et pareillement b0 1 ,... ,b0 r désignerontdes points déterminés (fixes) du domaine A 1 , et ϕ k (a 0 ,b 0 ) sera noté c 0 k . Enrevanche, a 1 ,... ,a r désignera un point arbitraire du domain A , de telle sorteque les équations :x i = f i (x 1 ,...,x n , a 1 ,...,a r )représenteront une transformation quelconque du groupe.Toute transformation de la forme x i = f i (x,a) peut être obtenue en exécutantd’abord la transformation x ′ i = f i(x,a 0 ) et ensuite une certaine secondetransformation définie comme suit. Résolvons les équations x ′ i = f i(x,a 0 ) parrapport à x 1 ,... ,x n , ce qui donne :x i = F i (x ′ 1 ,... ,x′ n , a0 1 ,... ,a0 r ),