Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 185un groupe projectif qui comporte au plus trois paramètres. Par ailleurs,nous savons d’après l’énumération de tous les groupes projectifs duplan (p. 106 sq.) que chaque groupe projectif du plan qui ne comportepas plus de trois paramètres, soit laisse un point invariant, soitse compose des ∞ 3 transformations projectives qui laissent invarianteune quadrique non dégénérée. Nous pouvons conclure de là que pour lesgroupes transitifs de R 3 à six paramètres, seulement deux cas peuventse produire : ou bien, après fixation d’un point en position générale, ilexiste un élément linéaire traversant ce point qui reste en même tempsfixé, ou bien il existe une quadrique non dégénérée qui est invarianteet les ∞ 2 éléments linéaires traversant ce point se transforment de troismanières différentes.Ce dernier cas ne peut pas se produire ici, parce que les groupesà six paramètres en question seraient alors primitifs 3 (cf.p. 123 sq.), etpar conséquent, chaque groupe possédant la constitution ici exigée doitlaisser invariant un système simultané :dxα(x, y, z) =dyβ(x, y, z) =dzγ(x, y, z)ou, ce qui revient au même, une famille de ∞ 2 courbes :ϕ(x, y, z) = const.,ψ(x, y, z) = const.Si nous choisissons alors les coordonnées x, y, z de telle sorte que lafamille invariante de courbes reçoive la forme : x = const., y = const.,alors tous les groupes recherchés sont de la forme :X k f = ξ k (x, y) p + η k (x, y) q + ζ k (x, y, z) r(k =1···6).D’après le Tome 1, p. 307, Proposition 4, les six transformationsinfinitésimales réduites :X k f = ξ k (x, y) p + η k (x, y) q (k =1···6)3 Déjà étudiés et traités il y a un instant au § 86.