Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 175Cette propriété des pseudosphères qui vient d’être établie permetencore de déduire une propriété importante des groupes recherchés, àsavoir, elle permet de démontrer que dans aucun des groupes recherchésne peuvent se trouver deux transformations infinitésimales qui possèdentles mêmes courbes intégrales.En effet, s’il y avait deux transformations infinitésimales dugroupe : X 1 f . . .X 6 f, par exemple : X 1 f et X 2 f, qui ont exactementles mêmes courbes intégrales, il existerait une identité de la forme :X 2 f ≡ ϕ(x, y, z) X 1 f,où ϕ n’est pas une simple constante 26 . Si nous formons maintenant lessix équations linéaires aux dérivées partielles :(16) X k f + X (1)kf = 0 (k =1···6)dont une solution commune :J ( )x, y, z; x 1 , y 1 , z 1détermine immédiatement — étant donné une constante arbitraire —les ∞ 1 pseudosphères de centre x 1 , y 1 , z 1 , alors nous remarquons quedans ces six équations sont comprises les deux suivantes :X 1 f + X (1)1 f = 0ϕ(x, y, z) X 1 f + ϕ(x 1 , y 1 , z 1 ) X (1)1 f = 0,d’où suivent immédiatement 27 les équations :X 1 f = 0, X (1)1 f = 0.Et maintenant, comme la première de ces deux équations est indépendantede x 1 , y 1 , z 1 , il se produit que sous les hypothèses posées, toutesles pseudosphères de l’espace satisfont une même équation linéaire auxdérivées partielles du premier ordre, ce qui, comme nous venons à l’instantde le démontrer, ne peut pas être le cas 28 .Par suite, nous pouvons maintenant énoncer la proposition suivante:26 Sinon, si X 2 = λX 1 avec λ constant, l’algèbre de Lie (espace vectoriel)X 1 , X 2 , . . . , X 6 ne serait pas de dimension six. Donc la différentielle dϕ = ϕ x dx +ϕ y dy + ϕ z dz n’est pas identiquement nulle.27 Le déterminant 2 × 2 du système, égal à ϕ(x 1 , y 1 , z 1 ) − ϕ(x, y, z), ne s’annulepas identiquement, puisque sa différentielle par rapport aux variables (x, y, z) est nonnulle.28 Par exemple, une application de cette propriété sera utilisée pour traiter, auChap. 21, le contre-exemple (23’) à une assertion de Helmholtz.