Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 281Quand Riemann parle d’un mouvement des figures, il s’imagineindubitablement que ce mouvement est continu, ce que montrent notammentles mots « coulisser » et « tourner » dont il fait usage. Maismaintenant, chaque mouvement continu amène avec lui une modificationcontinue des cordonnées du point qui se meut, et fournit ainsi unefamille continue de ∞ 1 transformations réelles :(6) x ′ ν = f ν(x 1 . . .x n ; t) (ν = 1 ···n)de la variété x 1 . . .x n , et pour préciser, une famille dans laquelle setrouve la transformation identique (cf.p. 223). Si les figures ne doiventsubir aucun élargissement au cours de ce mouvement, alors la longueurde chaque ligne doit rester inchangée, autrement dit : les ∞ 1 transformations(6) doivent laisser invariante la longueur (5) d’un élément linéaire.Inversement, il est évident que chaque famille (6) de ∞ 1 transformationsqui laisse invariante la longueur (5) d’un élément linéaire et quicontient la transformation identique, représente un mouvement continurelativement auquel les figures ne subissent aucun élargissement. Parconséquent, l’exigence que le mouvement des figures soit en généralpossible sans élargissement, revient à ce qu’il doive exister au moinsune famille continue de ∞ 1 transformations contenant la transformationidentique qui laisse invariante la longueur (5) d’un élément linéaire.Maintenant, l’ensemble de toutes les transformations réelles, relativementauxquelles la longueur (5) d’un élément linéaire reste invariante,constitue certainement un groupe G, et ce groupe G contienttoujours un certain sous-groupe continu G, qui n’est contenu dans aucunsous-groupe continu plus grand de G. Si ensuite (6) est une famillede ∞ 1 transformations réelles continues qui contient la transformationidentique et qui appartient au groupe G, alors cette famille déterminevisiblement un mouvement continu au cours duquel les figures nesubissent aucun élargissement. Inversement, si (6) est un mouvementcontinu au cours duquel les figures ne subissent aucun élargissement,alors la famille (6) appartient évidemment au groupe G. Il découle de làque G est complètement déterminé par l’ensemble de tous les mouvementsau cours desquels les figures ne subissent aucun élargissement ;en même temps, il est clair que les transformations de G déterminenttoutes les positions que l’on peut donner aux figures par des mouvementscontinus sans élargissement.Et maintenant, qu’est-ce que cela veut dire, lorsque Riemann demandeque les figures puissent coulisser et tourner librement sans élargissement?