Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

50 1.20. Caractérisation des variétés localement euclidiennesdoit s’annuler identiquement, où B = det ( ) ( βν,b ι, ι ′ et oùν)′B estl’inverse de ( b ι, ι ′). Aucun argument ne vient supporter l’affirmationimplicite que cette condition est aussi nécessaire, bien quel’Habilitationsvortrag ait énoncé une telle réciproque 89 . Ensuite,Riemann désigne par la notation :(ιι ′ , ι ′′ ι ′′′ )le membre de droite de cette équation et en quelques lignes« cryptiques », il prétend que la variation seconde de la métrique :δδ ∑ b ι, ι ′ ds ι ds ι ′ − 2dδ ∑ b ι, ι ′ ds ι ds ι ′ + dd ∑ b ι, ι ′ δs ι δs ι ′peut être réécrite de façon à faire apparaître ces expressions à quatreindices :(II) = ∑ (ιι ′ , ι ′′ ι ′′′)( ds ι δs ι ′ − ds ι ′δs ι)(dsι ′′δs ι ′′′ − ds ι ′′′δs ι ′′).Plus encore, le quotient de cette expression par l’aire infinitésimale aucarré engendrée par ds et par δs :∑ (ιι ′ , ι ′′ ι ′′′)( )(ds ι δs ι ′ − ds ι ′δs ι dsι ′′δs ι ′′′ − ds ι ′′′δs ι ′′)(II) − 1 2∑bι, ι ′ ds ι ds ι ′∑ ( ∑ 2bι, ι ′ δs ι δs ι ′ − bι, ι ′ ds ι δs ι ′)est un invariant. Ces affirmations sont énoncées de manière tellement elliptiqueet sans aucune vérification que nous n’avons pas d’autre possibilitéque de nous imaginer que Riemann en contrôlait déjà parfaitementla justesse en dimension deux, grâce aux travaux de Gauss, Minding,Peterson.89 Spivak [154] élabore cinq démonstrations distinctes de cet énoncé fondamental.Théorème. Si (M, g) est une variété riemannienne de dimension n 2, les troisconditions suivantes sont équivalentes :• (M, g) est localement isométrique à R n muni de la métrique euclidienne ;• toutes les composantes A ijk l du tenseur de courbure s’annulent identiquement ;• en tout point, la forme quadratique de Riemann-Christoffel s’annule identiquement;• en tout point, la courbure sectionnelle de Riemann-Gauss s’annule suivant aumoins n(n−1)2directions superficielles indépendantes.