Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 181et le déterminant correspondant :∣ x − x 1 η 1 ζ 1 ∣∣∣∣∣ 0 η 2 ζ 2 = (x − x 1 )∣ η ∣2 ζ 2 ∣∣∣∣η0 η 3 ζ 3 ζ 33devrait, d’après la Proposition 2, s’annuler identiquement. Mais alorsles deux transformations infinitésimales Y 2 f et Y 3 f seraient liées parune identité de la forme :Y 3 f ≡ ω(x, y, z) Y 2 fet possèderaient par suite des courbes intégrales en commun, ce qui estexclu d’après la Proposition 1.Ainsi, on a démontré que les surfaces invariantes x = const.doivent être transformées par l’action d’un groupe à trois paramètres :Proposition 3. Si, relativement à un groupe à six paramètres deR 3 , deux points possèdent un et un seul invariant, tandis que s > 2points n’ont pas d’invariant essentiel, alors le groupe transforme detrois manières différentes chaque famille de ∞ 1 surfaces qu’il laisseéventuellement invariantes.Nous allons maintenant déterminer tous les groupes transitifs à sixparamètres de R 3 qui possèdent certaines propriétés énoncées dans lesPropositions 1 et 3, donc pour nous exprimer de manière plus précise :nous cherchons maintenant tous les groupes transitifs : X 1 f . . .X 6 f deR 3 à six paramètres tels que :premièrement deux points ont un et un seul invariant ; tels quedeuxièmement deux transformations infinitésimales indépendantesn’ont jamais les mêmes courbes intégrales et tels que troisièmementchaque famille invariante éventuelle de ∞ 1 surfaces est transformée detrois manières différentes.Afin de résoudre complètement le problème posé auparavant,p. 166, nous devrons encore décider au final, quant à chacun des groupesqui se présentera, si s > 2 points ont un invariant essentiel ou non, caralors, seuls les groupes pour lesquels s > 2 points n’ont pas d’invariantessentiel seront intéressants pour nous. La décision à ce sujet seraessentiellement facilitée par la proposition suivante.Proposition 4. Si, relativement à un groupe transitif à six paramètres: X 1 f . . .X 6 f de R 3 , deux points x, y, z et x 1 , y 1 , z 1 possèdentun et un seul invariant : J ( x, y, z; x 1 , y 1 , z 1), alors s > 2 points n’ont