Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

8 1.6. Le renversement riemannienl’être Gauss, par les fondements de la géométrie élémentaire. Fait surprenant,les archives explorées ne portent aucune indication du fait queRiemann ait pu se constituer une connaissance circonstanciée des travauxde Bólyai et de Lobatchevskiĭ. En tout cas, dans son discours d’habilitation,il mentionne seulement Legendre, qu’il considère comme « leplus illustre des réformateurs modernes de la géométrie ». Fait tout aussiétonnant, Riemann ne cite pas une seule fois l’axiome des parallèles,même lorsqu’il traite des variétés de courbure constante au sein desquellesl’existence et le comportement des parallèles peuvent être caractérisésde manière extrêmement limpide en fonction du signe de la courbure(constante). En vérité, l’analyse par Scholz [141, 143] du feuilletn o 40 du dossier n o 16 du Nachlass montre le peu d’intérêt que Riemannaurait pu trouver à s’engager, dans des recherches de type logique oufondationnel, en partant des postulats d’Euclide.Même s’il est intéressant de saisir un tel mode de traitement dela géométrie, une telle entreprise serait extrêmement infructueuse, carde la sorte, on ne trouverait pas de nouveaux théorèmes, et ce quiapparaît simple et clair dans la présentation de l’espace deviendrait decette manière-là compliqué et difficile. [143], pp. 28–29.Ainsi Riemann semble-t-il écarter la voix d’axiomatisation a posteriorides géométries comme systèmes logiques clos et cohérents, telle qu’elledevait naître dans les années 1880 avec les travaux de Pasch 19 , Stolz,Schur, et ultérieurement de Veronese, Killing, Enriques, Pieri, Padoa,Russell, Hilbert, Poincaré. Mais sur la base d’une analyse de la méthodologiephilosophique de Herbart qui a influencé Riemann, on peutnéanmoins soutenir (cf. ce qui va suivre) que Riemann anticipe l’organisationstructurale et hiérarchique des concepts mathématiques modernes,et ce, bien avant que naisse la méthode axiomatique hilbertienneproprement dite qui devait conférer un sens métamathématique précisaux concepts de cohérence, de complétude, d’indépendance, de suffisance,de nécessité, de spécialisation et de catégoricité.19 Freudenthal ([52], p. 617) souligne que Pasch dans ses [Vorlesungen über neuereGeometrie] (1882) anticipe très largement le point de vue formaliste pur dont Hilberts’était fait l’ardent défenseur dans ses Grundlagen der Geometrie (1899) : « À chaquefois », écrit en effet Pasch, « que la géométrie doit être réellement déductive, le procédéd’inférence doit être indépendant aussi bien de la signification des notions géométriquesque des figures. Les seules choses qui comptent sont les relations entre lesnotions géométriques, telles qu’elles sont établies dans les théorèmes et utilisées dansles définitions ».