Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3 :Théorèmes fondamentauxsur les groupes de transformations3.1. Paramètres essentiels. Comme exemple d’application de ces troisprincipes généraux qui gouvernent la pensée de Lie, montrons commenton peut s’assurer que tous les paramètres dans une collection d’équationsde transformation sont effectivement présents ; si tel n’est pas lecas, montrons comment on peut ramener ces équations à d’autres équationsde transformations équivalentes qui comportent un nombre inférieurde paramètres. Ce problème à résoudre obéit à une exigence incontournabled’économie. Supprimer à l’avance tous les paramètres superfluslorsqu’il en existe permettra certainement d’éviter d’avoir à traiterdes cas parasites dans l’énoncé des théorèmes principaux de la théorie.On supposera pour fixer les idées que les variablesx = (x 1 , . . .,x n ) ∈ C n sont complexes et que les paramètresa = (a 1 , . . ., a r ) sont eux aussi complexes, étant entendu que la théoriefondamentale est inchangée 1 lorsque x ∈ R n et a ∈ R r , ou mêmelorsque 2 x ∈ C n et a ∈ R r .Dans des équations de transformations quelconques x ′ = f(x; a),toutes les variables (x 1 , . . .,x n ) sont par hypothèse présentes, puisquex ↦→ f a (x) est un difféomorphisme local pour tout a. Mais aucune supposition,excepté la finitude, n’a été faite sur les paramètres (a 1 , . . ., a r ).L’idée principale consiste à développer les fonctions f i des équationsde transformation :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n ; a 1 , . . .,a r ) (i =1··· n)1 Lorsqu’ils ne précisent pas le domaine de variation des quantités numériques,Engel et Lie sous-entendent qu’elles sont complexes. Pour les théorèmes de classificationsur R qui prolongent et qui utilisent les théorèmes de classification sur C, lesdeux auteurs précisent alors explicitement que variables et paramètres sont tous deuxréels.2 Ce cas intermédiaire n’est en général pas étudié par Engel et Lie, mais il le serapar Élie Cartan.