Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Présentation mathématique générale 81déterminant 4 , qui est une fonction analytique. Alors on s’autorise à relocaliserles considérations dans tout sous-domaine U 2 ⊂ U 1 \D 1 .D 1 U 3U 2D 2 U3U 1 U 2Ensuite, dans U 2 , des raisonnements ultérieurs peuvent demander quel’on évite un autre sous-ensemble analytique propre D 2 , et donc l’ondoit à nouveau relocaliser les considérations dans un sous-domaineU 3 ⊂ U 2 \D 2 , et ainsi de suite. La plupart des démonstrations de laThéorie des groupes de transformations, et tout particulièrement les4Plus généralement, considérons une matrice rectangulaire G(y) :=(g j i (y))1jm 1in de taille n × m dont les éléments gj i = gj i (y) sont des fonctions analytiquesd’un certain nombre de variables y = (y 1 , . . . , y q ) qui sont définies dans uncertain domaine U de C q (ou de R q ). Pour tout entier ρ tel que 1 ρ min(m, n),on peut former la collection de tous les déterminants de taille ρ ×ρ (mineurs) qui sontextraits de cette matrice :∆ j1,...,jρi 1,...,i ρ(y) :=∣g j1i 1(y) · · · g jρi 1(y)·· · · · ··.g j1i ρ(y) · · · g jρi ρ(y) ∣En partant de ρ := min(m, n), si tous ces déterminants sont identiquement nuls (entant que fonctions de la variable y), on passe alors de la taille ρ à la taille juste inférieureρ − 1, on forme tous les mineurs, on teste leur annulation identique, et onrecommence. Le rang générique ρ ∗ de la matrice G(y) est alors le plus grand entier ρtel qu’il existe au moins un tel mineur non identiquement nul, tous les mineurs d’unetaille strictement supérieure étant identiquement nuls. On a ρ ∗ = 0 si et seulementsi toutes les fonctions g j i (y) sont nulles (cas inintéressant), et sinon, on a en toutegénéralité : 1 ρ ∗ min(m, n). Enfin, si l’on introduit le lieu :{}D ∗ := y ∈ C q : ∆ j1,...,j ρ ∗i (y) = 0, ∀ i 1,...,i ρ ∗ 1, . . .,i ρ ∗, ∀ j 1 , . . . , j ρ ∗des points y en lesquels tous les mineurs de taille ρ ∗ × ρ ∗ s’annulent, alors ce lieu D ∗est un sous-ensemble analytique propre — en particulier fermé et de complémentaireU\D ∗ ouvert et dense — qui a par définition la propriété qu’en tout point y ∈ U\D ∗ ,au moins un mineur de taille ρ ∗ × ρ ∗ ne s’annule pas, et comme tous les mineurs detaille strictement supérieure s’annulent identiquement par construction, on en déduitla propriété remarquable : en tout point y ∈ U\D ∗ , le rang de la matrice G(y) estmaximal, égal à son rang générique ρ ∗ . Cas particulier : lorsqu’on a une matricecarrée de déterminant non identiquement nul, i.e. ρ ∗ = m = n, cette matrice estinversible en tout point y ∈ U\D ∗ .