Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Partie III :Traduction française commentée et annotéeSophus LIE, unter Mitwirkung von Friedrich ENGELTheorie der TransformationsgruppenDritter und letzter Abschnitt, Abtheilung VChapitresDivision 5 : Recherche sur les fondements de la géométrie . . . . . . . . . . . . . 159.Chap. 20 : Détermination des groupes de R 3 relativement auxquels les pairesde points possèdent un, et un seul invariant, tandis que s > 2 points n’ontpas d’invariant essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.Chap. 21 : Critique des recherches helmholtziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.Chap. 22 : Première solution du problème de Riemann-Helmholtz . . . . . 260.Chap. 23 : Deuxième solution du problème de Riemann-Helmholtz . . . . 289.Division 5Recherches sur les fondements de la GéométrieEuclide a développé la Géométrie « purement géométrique » enpartant d’un certain nombre d’axiomes simples et de notions fondamentalesélémentaires, sans utiliser aucun outil analytique. Aussi admirableque soit son système déductif, celui-ci laisse encore cependant quelquepeu à désirer, lorsque l’on considère la façon dont sont employés leséléments fondamentaux.Premièrement, on ne saisit pas si le système euclidien d’axiomeset de notions fondamentales est réellement complet. Il est en effet maintenantgénéralement admis qu’au cours de ses développements, Euclidea introduit des hypothèses tacites qu’il aurait dû formuler commeaxiomes. Par exemple, l’introduction du concept d’espace à deux dimensions1 repose chez Euclide sur un véritable axiome qu’il n’a pasexplicité.Deuxièmement, on peut s’imaginer que certains des axiomes euclidienssont superflus, c’est-à-dire qu’ils pourraient être démontrés àpartir des définitions et axiomes précédents.1Précisément : « espace de type surface », Flächenraum.