Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 309au repos. Sous les hypothèses posées, la fixation de P 1 . . .P 4 nécessiteau plus : 4 + 3 + 2 + 1 = 10 conditions, donc on obtient que G est fini,et pour préciser, qu’il a au plus dix paramètres.Choisissons maintenant, parmi les pseudosphères de centre P 1 , unequelconque d’entre elles en position générale, et appelons-la K 1 . SiP 2 est un point quelconque de K 1 , il y a ∞ 1 pseudosphères de centreP 2 , mais dont aucune ne coïncide avec K 1 , car une pseudosphère necontient jamais son centre.Si nous fixons P 1 , alors P 2 peut se mouvoir d’une manière complètementlibre sur la pseudosphère K 1 , qui, sous les hypothèses posées,est certainement une variété réelle trois fois étendue. Si, hormisP 1 , nous fixons aussi encore P 2 , alors chaque autre point P 3 de K 1 peutseulement se mouvoir sur la variété M ′ qui est découpée dans K 1 parla pseudosphère de centre P 2 qui passe par P 3 ; et d’après l’Axiome IV,P 3 peut se mouvoir d’une manière complètement libre sur cette variété.Nous pouvons ajouter que, sous les hypothèses posées, M ′ est en généralune variété réelle deux fois étendue.Si nous déterminons les points de K 1 par trois coordonnées :x 1 , x 2 , x 3 et si nous appelons : y 0 1 , y0 2 , y0 3 les coordonnées de P 2, et :x 0 1 , x0 2 , x0 3 celles de P 3, nous pouvons aussi exprimer tout cela commesuit : Si P 1 est fixé, alors les points : x 1 , x 2 , x 3 de la pseudosphère K 1 sonttransformés de telle sorte qu’après fixation d’un point réel : y 0 1, y 0 2, y 0 3 deK 1 , chaque autre point réel x 0 1 , x0 2 , x0 3 de K 1 peut encore être envoyé surtous les points réels : x 1 , x 2 , x 3 de K 1 qui satisfont une équation de laforme :W ( y 0 1 , y0 2 , y0 3 ; x0 1 , x0 2 , x0 3 ; x 1, x 2 , x 3)= 0;en général, cette équation détermine une variété réelle deux fois étenduese trouvant sur K 1 . Et maintenant, lorsqu’on fixe P 1 , les points de la variététrois fois étendue K 1 sont visiblement transformés par un groupeG 1 ; d’après ce qui a justement été dit, il s’ensuit de plus que ce groupesatisfait tous les axiomes posés dans le paragraphe précédent, par suitede quoi nous pouvons conclure que G 1 a six paramètres et qu’il peutêtre transformé en le groupe des mouvements euclidiens, ou en les deuxgroupes de mouvements non-euclidiens de R 3 , via une transformationponctuelle réelle en les variables : x 1 , x 2 , x 3 . D’autre part, nous avons vuplus haut que G est transitif et qu’il a au plus dix paramètres, donc lesous-groupe de G par lequel P 1 reste invariant n’a certainement pas plusque six paramètres. Par conséquent, on obtient que G possède exactementdix paramètres, et qu’après fixation de P 1 , les points de R 4 sonttransformés par un groupe à six paramètres ; en même temps, les points