Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 23.Deuxième solution du problème de Riemann-Helmholtz.Souvenons-nous des remarques effectuées tout au début de l’introductiondu précédent chapitre (p. 260 sq.). Nous prenons maintenant icien considération le point de vue annoncé là-bas, i.e. nous demandons ànouveau quelles propriétés sont communes au groupe des mouvementseuclidiens ainsi qu’aux deux groupes de mouvements non-euclidiens etqui font que ces trois groupes sont remarquables parmi tous les groupescontinus possédant des transformations inverses l’une de l’autre parpaires. Tandis que dans le précédent chapitre, nous avons considéré despropriétés caractéristiques qui se réfèrent seulement à des points infinimentvoisins, nous voulons maintenant utiliser seulement des propriétésqui concernent les rapports mutuels de points finiment éloignés les unsdes autres.Chez Riemann, la différence entre les axiomes qui se rapportentaux points infiniment voisins et ceux qui se rapportent aux points finimentéloignés les uns des autres n’est pas encore faite. Les axiomesutilisés par Riemann, qui à vrai dire ne sont pas formulés expressémentpar lui, ou en tout cas ne sont cependant formulés ni précisément, nidistinctement, se réfèrent en partie à une espèce de points, en partieà l’autre. L’exigence de Riemann sur l’existence d’une longueur d’élémentcourbe se réfère à des points infiniment proches. Mais maintenant,comme nous l’avons déjà mis en évidence aux pages 277 sq., l’existenced’une fonction distance entre deux points finiment éloignés l’unde l’autre ne découle pas encore de l’existence d’une longueur d’élémentcourbe, tant qu’on ne sait rien de plus précis sur la nature de lalongueur d’un élément courbe. Tout de même, Riemann suppose aussisans plus de justification l’existence d’une telle fonction distance, etc’est une hypothèse qui se réfère à des points finiment éloignés les unsdes autres. Enfin, les exigences de Riemann — exprimées à vrai direde manière très indéterminée — sur la mobilité des figures sans élargissementse réfèrent évidemment aussi à des points finiment éloignésles uns des autres, mais, à cause de la nature particulière de la longueurd’un élément courbe, que Riemann déduit de la fonction distance qu’il