Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 195De la même manière, en calculant les crochets :[p, x 2 p + 2xyq + ϕ 6 r ] = 2xp + 2yq + ∂ϕ 6∂x r[q, x 2 p + 2xyq + ϕ 6 r ] = 2xq + ∂ϕ 6∂y r[xq + r, x 2 p + 2xyq + ϕ 6 r ] = x 2 q +(x ∂ϕ 6∂y + ∂ϕ )6r∂z[xp + yq + cr, x 2 p + 2xyq + ϕ 6 r ] = x 2 p + 2xyq++{x ∂ϕ 6∂x + y ∂ϕ 6∂y + c ∂ϕ }6r,∂znous pouvons déterminer la dernière fonction inconnue ϕ 6 comme suit :∂ϕ 6∂x = 2c, ∂ϕ 6∂y = 2, ∂ϕ 6∂z = 0,x ∂ϕ 6∂x + y ∂ϕ 6∂y + c ∂ϕ 6∂z = ϕ 6 = 2 (y + cx).Par conséquent, notre groupe (31) reçoit la forme 22 :(32)p, q, xq + r, xp + yq + crx 2 q + 2xr, x 2 p + 2xyq + 2 (y + cx) r .Ici aussi : x = y = z = 0 est un point en position générale. Cepoint reste invariant par les trois transformations infinitésimales :{xp + (y − cx) q, x 2 q + 2xr(33)x 2 p + 2xyq + 2 (y + cx) ret le déterminant correspondant :x y − cx 0(34)0 x 2 2x∣ x 2 2xy 2(y + cx) ∣ = 2x3 (y +cx) −4x 3 y +2x 3 (y −cx)s’annule identiquement, sans que tous ses sous-déterminants d’ordredeux ne s’annulent. Par conséquent (voir Proposition 2, p. 178), deuxpoints de R 3 : x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2 possèdent un et un seul invariant22 Le fait que le groupe obtenu soit encadré laisse entendre à l’avance qu’il seraretenu dans la liste de tous les groupes qui satisfont les conditions formulées à lapage 181. Mais la démonstration et les examens ne sont pas terminés.