Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

242 Division V. Chapitre 21. § 94.Comme nous l’avons vu, une partie des exigences helmholtziennesse ramène à ce que deux points ont un et un seul invariant relativementà tous les mouvements du groupe. Maintenant, relativement au groupetransitif à six paramètres :(21) q, xq + r, x 2 q + 2xr, x 3 q + 3x 2 r, x 4 q + 4x 3 r, ples deux points : x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2 ont le seul 3 invariant 4 : x 2 − x 1 ,tandis que relativement au groupe réduit associé :(21’) q, r, xr, p,ils ont au contraire les deux invariants 5 : x 2 − x 1 et y 2 − y 1 . D’un autrecôté, relativement au groupe transitif à six paramètres :(22) q, xq + r, x 2 q + 2xr, x 3 q + 3x 2 r, p, xp − zr,ces deux points n’ont absolument aucun invariant, tandis que, relativementau groupe réduit associé :(22’) q, r, xr, p, xp − zrils ont l’invariant : y 2 − y 1 .De là, il résulte que les deux groupes (17), (18) et (20) ne satisfontpas en général simultanément les exigences qui ont été admises.Considérons ensuite le groupe :(23){q, p, xq + r, x 2 q + 2xr, xp + yq + crx 2 p + 2xyq + 2(cx + y) r,que nous avons déjà rencontré à la page 195. D’après la page 196, deuxpoints ont un et un seul invariant relativement à ce groupe tandis que3 La Proposition 2 p. 178 s’applique à l’origine, qui est un point de positiongénérale.4 Effectivement, x 2 − x 1 est annihilé identiquement par X (1)k+ X (2)k , pour k =1, . . . , 6, ce qui est trivial pour les cinq premiers opérateurs différentiels, le sixièmes’écrivant p 1 + p 2 , d’où (p 1 + p 2 )(x 2 − x 1 ) = 1 − 1 = 0.5D’après l’équation (2) p. 167, une fonction quelconque J =J(x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ) est invariante si et seulement si elle est annihilée identiquementpar Y (1)l+Y (2)l, pour l = 1, . . .,4. L’annihilation par p 1 +p 2 , par q 1 +q 2 etpar r 1 + r 2 équivaut à ce que J = J(x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ). Enfin, l’annihilationpar x 1 r 1 + x 2 r 2 implique que J = J(x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ). La vérification (similaire)des deux affirmations qui suivent immédiatement est laissée au lecteur.