Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

170 Division V. Chapitre 20. § 85.c’est-à-dire : après fixation de ces s − 1 points-là, le point x s , y s , z speut encore se transformer en tous les points x ′ s , y′ s , z′ s qui satisfont leséquations (8) et qui se trouvent dans un voisinage donné de x s , y s , z s .Mais puisque le groupe : X 1 f . . .X m f est fini, lorsqu’on fixe un nombresuffisant de points qui sont mutuellement en position générale, il doitfinalement se produire le cas que tous les points restent généralementau repos ; par conséquent, les équations (8) doivent être constituées detelle sorte que, lorsque s est suffisamment grand, plus aucune famillecontinue de systèmes de valeurs x ′ s, y s, ′ z s ′ ne les satisfait, et qu’on peuten tirer les équations :(9) x ′ s = x s, y ′ s = y s, z ′ s = z s.D’après le Tome I, p. 490, ce cas se produit 14 au plus tard lorsque s =m+1, mais nous verrons cependant que sous les hypothèses posées ici,ce cas se produit déjà pour un nombre inférieur 15 à m + 1.Si nous fixons seulement un point en position générale, parexemple x 1 , y 1 , z 1 , alors chaque autre point x 2 , y 2 , z 2 en position généralepeut encore être transformé en les ∞ 2 points 16 x ′ 2, y ′ 2, z ′ 2 qui satisfontl’équation :J ( x 1 , y 1 , z 1 ; x ′ 2 , y′ 2 , z′ 2)= J(x1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2).Et maintenant, comme notre groupe : X 1 f . . .X m f est transitif, aprèsfixation d’un point en position générale, les paramètres du groupe sontsoumis exactement à trois conditions ; par conséquent le point x 2 , y 2 , z 2ne peut évidemment occuper encore ∞ 2 positions que s’il reste encoreau minimum deux paramètres arbitraires ; donc notre groupe possède aumoins cinq paramètres.14 Voici l’argument. Soit G un groupe de transformations fini et continu comportantm paramètres (essentiels) qui agit sur R n . Il existe au moins un point p 1 enposition générale qui n’est pas fixé par G. Le sous-groupe (d’isotropie) G 1 ⊂ G destransformations qui laissent p 1 au repos a donc m 1 m − 1 paramètres. Si m 1 1,il existe au moins un point p 2 en position générale qui n’est pas fixé par G 1 . Le sousgroupeG 2 ⊂ G 1 des transformations fixant p 2 possède m 2 m 1 − 1 m − 2paramètres, etc.15 Les développements ultérieurs montreront que cela se produit en fait déjà pours < 4, meilleure inégalité que s < 7 = m + 1 lorsque m = 6.16 Le symbole courant « ∞ k » dénote le nombre k de paramètres (réels ou complexes)dont un objet géométrique (ou analytique) dépend effectivement. Chaque paramètre,susceptible de parcourir une infinité de valeurs continues, compte pour uneet une seule puissance du symbole « ∞ ».