Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

296 Division V. Chapitre 23. § 101.Nous voyons à partir de là que deux points infiniment voisins quelconquesont un invariant relativement à G si et seulement si le groupe linéairehomogène (5) défini à l’instant en les variables x ′ 1 . . .x′ n possèdeun invariant. Nous énonçons donc ce résulat de la manière suivante :Proposition 1. Si l’on souhaite décider si deux points infinimentvoisins quelconques ont un invariant, relativement à un groupe continuqui est constitué de transformations infinitésimales, alors il n’est pasnécessaire de connaître les transformations infinitésimales du groupelui-même, mais il suffit de connaître les termes du premier ordre en lesx ν −x 0 ν, dans les transformations infinitésimales du groupe qui laissentinvariant un point x 0 1 . . . x0 n en position générale.Il est d’une importance particulière de pouvoir décider si deuxpoints infiniment voisins x ν et x ν +dx ν possèdent un invariant ω(x, dx)qui est homogène du premier ordre en les dx ν . S’ils ont en effet un telinvariant, on peut le considérer comme longueur d’un élément courbe,et l’on trouve par intégration que chaque courbe a une certaine longueur.Il n’est pas difficile d’établir si un tel invariant existe ou non ; àcette fin, on doit évidemment constater simplement si le groupe (5) possèdeun invariant qui est homogène du premier ordre en les x ′ ν. Maiscela est très facile.Si la transformation :n∑ ∂fUf =ν=1x ′ ν∂x ′ νse laisse exprimer par combinaison linéaire à partir des transformationsinfinitésimales (5), alors tous les invariants éventuels de (5) sont homogènesd’ordre zéro, et il n’y en aura sûrement aucun qui est homogènedu premier ordre. Si au contraire Uf ne se peut pas s’exprimer par combinaisonlinéaire à partir des transformations (5) et si le groupe (5) a engénéral un invariant, alors il en a toujours aussi un qui est homogène dupremier ordre ; car, sous les hypothèses posées, les équations :(5’) A k f =∑1...nµ να k µ ν x ′ µ∂f∂x ′ ν= 0 (k =1··· m)ont certainement une solution commune. Maintenant, puisque l’équationUf = 0 n’est pas conséquence de (5’) et puisque les m crochets[A k , U] s’annulent identiquement, il est clair que les équations :A 1 f = 0, . . ., A m f = 0, Uf = f