Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

282 Division V. Chapitre 22. § 100.Manifestement, le mot « librement » est si indéterminé, qu’onpourrait en tirer n’importe quelle conclusion. On en est donc réduit àindiquer des présomptions.Nous croyons qu’avec la possibilité libre de coulisser [belibigeVerschiebbarkeit] pour les figures, Riemann s’est imaginé qu’au coursdu mouvement dont une figure est susceptible sans subir d’élargissement,un point de la figure sélectionné arbitrairement peut être envoyésur chaque autre point de l’espace. Avec cette interprétation, l’exigencede possibilité libre de coulisser revient évidemment à ce que le groupedéfini plus haut doive être transitif.D’un autre côté, par « rotations » [Drehungen], Riemann peut entout cas seulement entendre les mouvements qui sont encore possiblesaprès fixation d’un point quelconque. L’exigence de possibilité libre detourner [beliebigen Drehbarkeit] pour les figures, nous la comprenonsdonc maintenant en disant que le mouvement le plus général qui estencore possible sans élargissement après fixation de l’origine des coordonnées,doit dépendre d’autant de paramètres qu’autorise l’invariancede l’expression :∑1...nµ να µν (0 . . .0) dx µ dx ν ,de telle sorte que le groupe transitif G doive contenir le plus grandnombre possible de paramètres.Afin de nous rendre compte de la portée de cette exigence, nousdevons rechercher quels sont les mouvements qui sont encore possiblessans élargissement après fixation d’un point réel en position générale.Pour des raisons de simplicité, nous supposons que l’origine descoordonnées est un point de position générale, et nous nous imaginonsde plus que la longueur de l’élément courbe est rapportée, via une transformationlinéaire homogène de x, à une forme telle que pour :elle prend la forme :x 1 = x 2 = · · · = x n = 0,(7) dx 2 1 + dx2 2 + · · · + dx2 n .Chaque mouvement qui est encore éventuellement possible sans élargissementaprès fixation de l’origine des coordonnées est alors représentépar une transformation de la valeur :n∑(8) x ′ k = α kν x ν + · · ·1(k = 1 ···n),