Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

186 Division V. Chapitre 20. § 87.produisent un groupe dans l’espace des deux variables x, y qui estisomorphe-holoédrique, ou isomorphe-méroédrique 4 X 1 f . . .X 6 f.Nous voulons tout d’abord considérer ce groupe réduit.Si le groupe réduit comportait moins de cinq paramètres, le groupeX 1 f . . .X 6 f comprendrait deux transformations infinitésimales de laforme :ω 1 (x, y, z) r, ω 2 (x, y, z) r,donc il comprendrait deux transformations infinitésimales ayant lesmêmes courbes intégrales, ce qui, d’après la Proposition 1, p. 176, n’estpas possible, et par conséquent, le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f doitcomporter soit cinq, soit six paramètres. Ainsi, il faut seulement se demanderencore quelles sont les formes différentes que le groupe réduitpeut prendre.Si le groupe : X 1 f . . .X 6 f dans l’espace des deux variables x, yest primitif, alors, par un choix approprié de x et de y, il peut toujours,d’après la page 71 recevoir l’une des deux formes 5 :{ p, q, xq, xp − yq, yp, xp + yq(24)p, q, xq, xp − yq, yp.D’un autre côté, si le groupe : X 1 f . . .X 6 f est imprimitif, il laisse alorsinvariante, lorsqu’on l’interprète comme groupe du plan x, y, au moinsune famille de ∞ 1 courbes : ϕ(x, y) = const., mais ensuite alors, dansl’espace des x, y, z, l’équation ϕ(x, y) = const. représente évidemmentune famille de ∞ 1 surfaces qui reste invariante 6 par le groupe :4 Un espace vectoriel F de transformations infinitésimales est dit isomorpheholoédrique[holoedrisch isomorph] à un autre espace vectoriel E de transformationsinfinitésimales lorsqu’il existe une application linéaire respectant les crochets (et naturelleen un certain sens) bijective de E dans F . Si l’application (naturelle) de Edans F est seulement surjective, mais pas bijective, F est dit isomorphe-méroédrique[meroedrisch isomorph] à E, ou isomorphe [isomorph] (tout court) à E. Ici, l’applicationnaturelle de « projection » qui, à chaque transformation infinitésimale X k , associesa réduite X k respecte les crochets, car [ X j , X k]=∑ 6l=1 c jkl X l découle en effetde de [ X j , X k]=∑ 6l=1 c jkl X l (avec les mêmes constantes de structure), mais ellen’est pas forcément injective.5 La référence concerne le Théorème 6 du Volume III qui classifie tous les groupescontinus finis de transformations holomorphes locaux sur un espace à deux dimensions.Le premier est le groupe affine ; le second est le groupe spécial affine.6 Analytiquement, les surfaces ϕ(x, y) = const. sont invariantes par le groupeX k , k = 1, . . .,6 si et seulement si X k (ϕ) s’exprime comme une certaine fonctionω k (ϕ) de la même fonction ϕ, pour tout k = 1, . . .,6. Puisque ϕ est indépendantde z, il est alors évident qu’on a de même X k (ϕ) = X k (ϕ) = ω k (ϕ),