Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

168 Division V. Chapitre 20. § 85.en les 3s variables x k , y k , z k doivent se laisser exprimer au moyen dess(s−1)fonctions 5 :1 ·2(5) J ( )x λ , y λ , z λ ; x µ , y µ , z µ (λ =1··· s−1; µ=λ+1··· s).Avant toute chose, il faut remarquer que chaque groupe possédantla constitution exigée 6 doit être transitif. En effet, si le groupe :X 1 f . . .X m f était intransitif, les équations :X k f = 0(k = 1 ···m)auraient déjà en tout cas une solution commune, et les équations (2) possèderaientalors au minimum deux solutions communes indépendantes 7 ,en contradiction avec notre exigence.Afin de trouver encore d’autres propriétés des groupes recherchés,rappelons que les 8 m transformations infinitésimales :(6) X (1)k f + X(2) k f + · · · + X(s)k f(k = 1 ···m)produisent un groupe à m paramètres en les 3s variables (1), lequelindique comment le système des s points (1) de R 3 est transformé parle groupe : X 1 f . . .X m f. En outre, nous avons l’intention de supposerque les s points (1) soient non seulement chacun en position généralevis-à-vis du groupe : X 1 f . . .X m f, mais encore soient mutuellement enposition générale 9 , de telle sorte que le système des valeurs (1) soit enposition générale vis-à-vis du groupe (6).Sous ces hypothèses, on peut facilement embrasser d’un coupd’œil [ÜBERSEHEN] quelles sont toutes les positions nouvelles que lesystème des s points (1) peut prendre à travers les transformations dugroupe (6) ; en effet, d’après le Tome I, p. 216, la mobilité générale deces systèmes de points n’est limitée par aucune autre condition 10 que la5 Ici, 1 λ < µ s, car les autres fonctions sont des invariants non essentiels.6Pour l’instant, les groupes sont inconnus. Le Théorèmes 37 (sur R) p. 215 fournirala liste des onze groupes réels répondant au problème posé.7 Si ϕ(x, y, z) est une solution non constante du système X 1 f = · · · = X m f =0, alors ϕ(x 1 , y 1 , z 1 ) et ϕ(x 2 , y 2 , z 2 ) sont deux solutions indépendantes de (2).8 Seconde inadvertance du texte imprimé, que nous rectifions à nouveau, maisqui ne se reproduira plus.9 Être mutuellement en position générale, pour un système de s points p 1 , . . . , p sde R 3 signifie simplement que le point produit (p 1 , . . . , p s ) dans R 3s soit en positiongénérale.10 À l’endroit cité, il a été établi qu’à un groupe quelconque de transformationsX 1 f, . . . , X m f à m paramètres agissant sur un espace (x 1 , . . . , x n ) de dimensionn quelconque est toujours attaché, localement au voisinage d’un point générique,un nombre déterminé n − q (éventuellement nul) de fonctions indépendantes