Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 47D’après Weyl [170] et Spivak [154], il semblerait que le principe denormalisation que Gauss avait élaboré en termes de coordonnées isothermesait été repris et généralisé par Riemann. Aucun élément manuscritne nous est parvenu mais l’on peut penser 87 que Riemann se soitproposé d’examiner, en dimension n 3, ce qui devait correspondreau lemme de Gauss sur l’orthogonalité des géodésiques. En tout cas,notons M la variété riemannienne, fixons un point p ∈ M et considéronsn vecteurs X 1 (p), . . ., X n (p) dans l’espace tangent T p M à M en pqui forment une base orthonormée de T p M. L’application exponentiellelocale ([154, 38]) :exp: T p M → Menvoie tout vecteur X(p) de norme riemannienne g(X(p), X(p)) 1/2suffisamment petite sur le point qui est situé à la distanceg(X(p), X(p)) 1/2 — égale à cette norme — sur l’unique géodésiqueissue de p et dirigée par X(p). Cette application définit undifféomorphisme local de T p M sur M qui envoie l’origine 0 ∈ T p Msur p. Si l’on note maintenant ψ : T p M → R n l’isomorphisme de T p Mavec R n qui est automatiquement fourni avec la base orthonormale :T p M ψexpMR nψ ( x 1 X 1 (p) + · · · + x n X n (p) ) := (x 1 , . . .,x n )alors l’application ψ ◦ exp −1 fournit un système de coordonnées locales(x 1 , . . .,x n ) sur M qui sont appelées coordonnées riemanniennesnormales. Toute autre base orthonormée de T p M fournirait un systèmeessentiellement équivalent de coordonnées locales. L’avantage principalde ces systèmes de coordonnées est de donner l’accès le plus direct auxquantités (tensorielles) de courbure, grâce à l’énoncé suivant, dont nousne reconstituerons pas la démonstration.Proposition. ([133, 170, 154]) Dans tout système de coordonnées riemanniennesnormales (x 1 , . . ., x n ), le développement de Taylor en x =87 C’est là toute la limite de l’histoire des mathématiques lorsque, trop pauvre endocuments, mais consciente de la complexité des situations et de la richesse éventuelledes échanges purement verbaux entre acteurs, elle se trouve réduite à émettre unevariété de conjectures qui finissent à terme par circonscrire toutes les éventualitésd’un réel perdu.