Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 121Afin de préparer cette matrice infinie, si nous différentions les développements(5) — qui s’identifient à (6) — par rapport à λ k en λ = 0, et si nousdéveloppons les coefficients de nos transformations infinitésimales :ξ ki (x (µ) ) = ∑ξ kiα · (x (µ) ) α (i =1... n; k = 1 ...r; µ=1...r)α∈N npar rapport aux puissances de x 1 ,...,x n , nous obtenons une expression appropriéede cette matrice :( i,(µ) ∂F)α 1in, α∈N n , 1µr ( (ξkiα ) 1in, α∈Nn(0)≡· · · (ξ ) 1in, α∈Nn)∂λ k 1kr1krkiα 1kr()=: T ∞ Ξ(0) · · · T ∞ Ξ(0) .Comme nous l’avons dit, il suffit donc de démontrer que cette matrice est derang r. Visiblement, cette matrice s’identifie à r copies de la même matriceinfinie T ∞ Ξ(0) de tous les coefficients de Taylor en 0 de la matrice :⎛Ξ(x) := ⎝ ξ ⎞11(x) · · · ξ 1n (x)· · · · · · · · · ⎠ξ r1 (x) · · · ξ rn (x)des coefficients des transformations infinitésimales X k . À présent, nous pouvonsformuler un lemme auxiliaire qui va nous permettre de conclure.Lemme. Soit n 1, q 1, m 1 des entiers, soit x ∈ C n et soit :⎛A(x) = ⎝ a ⎞11(x) · · · a 1m (x)· · · · · · · · · ⎠a q1 (x) · · · a qm (x)une matrice arbitraire q × m de fonctions analytiques :a ij (x) = ∑α∈N n a ijα x α (i =1... q; j =1... m)qui sont toutes définies dans un voisinage fixé de l’origine dans C n , et soit lamatrice constante q × ∞ de tous ses coefficients de Taylor à l’origine :T ∞ A(0) := ( a ijα) 1jm, α∈N n1iqdont les q lignes sont étiquetées par l’indice i. Alors l’inégalité suivante entrerangs génériques est satisfaite :rangT ∞ A(0) rang-génériqueA(x).Preuve. Ici, notre matrice infinie T ∞ A(0) sera considérée commeagissant par multiplication à gauche sur des vecteurs horizontauxu = (u 1 ,... ,u q ), de telle sorte que u · T ∞ A(0) est une matrice ∞ × 1,c’est-à-dire un vecteur horizontal infini. De manière similaire, A(x) agira surdes vecteurs horizontaux de fonctions analytiques (u 1 (x),... ,u r (x)).