Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 277Ce qui importe maintenant pour cela, c’est de déterminer plus précisémentla forme de la longueur d’un élément courbe. À cette fin,Riemann admet sans aucun mot de justification que deux points quelconquesde R n qui ne sont pas infiniment voisins ont aussi une distancetout à fait déterminée l’un par rapport à l’autre, à savoir il pose àl’avance et sans plus de façons l’existence d’une fonction :Ω ( x 1 . . .x n ; x 0 1 . . .x 0 n),qui a la même valeur pour tous les points x 1 . . .x n qui « sont aussi lointainementdistants (gleich weit abstehen) » du point x 0 1 . . .x0 n . On nevoit pas si Riemann a voulu faire une nouvelle hypothèse avec cela, ousi il a voulu signifier que l’existence d’une telle fonction Ω découle del’existence d’une longueur d’élément courbe ayant la constitution indiquée.En tout cas, cette dernière possibilité n’est pas immédiatementclaire, car il est certain que l’existence d’une telle fonction Ω découlede l’existence d’une longueur d’élément courbe seulement lorqu’entredeux points, une ligne la plus courte possible est en même temps déterminéeau moyen d’une telle longueur d’élément courbe ; il devrait doncêtre démontré d’abord que l’existence de telles lignes les plus courtespossibles, découle des hypothèses qui ont été faites auparavant sur lalongueur d’un élément courbe.On peut se convaincre directement que l’existence d’une longueur d’élémentcourbe :ω ( x 1 ...x n ; dx 1 ...dx n),qui est une fonction homogène quelconque du premier degré par rapport àdx 1 ... dx n , ne permet pas toujours d’en tirer l’existence d’une fonction distance:Ω ( x 1 ...x n ; y 1 ...y n)entre deux points finiment éloignés l’un de l’autre.Soit en effet Γ le plus grand groupe continu de transformations ponctuellesréelles de R n par lesquelles la longueur ω(x,dx) d’un élément courbereste invariante. Alors nous pouvons manifestement exprimer aussi l’existencede cette longueur d’un élément courbe en disant : les deux points infinimentvoisins x ν et x ν + dx ν ont l’invariant : ω(x,dx) relativement à Γ. De même,l’existence d’une fonction distance Ω(x,y) reviendrait à ce que deux points x νet y ν qui sont finiment éloignés l’un de l’autre ont l’invariant Ω(x,y) relativementau groupe Γ.Mais maintenant, deux points infiniment voisins x ν et x ν + dx ν peuventtrès bien avoir un invariant de la forme ω(x,dx) relativement à un groupe, sans