Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 205paires de points, alors le groupe est transitif à six paramètres et pourpréciser, il est semblable 2 [ähnlich], via une transformation ponctuellede l’espace des x, y, z, ou bien au groupe des mouvements euclidiens,ou bien au groupe projectif à six paramètres qui stabilise une surface dusecond degré non-dégénérée, ou bien encore à l’un des quatre groupessuivants :[1]p, q, xp + r, yq + cr, x 2 p + 2xr, y 2 q + 2cyrc ≠ 0[2]p, q, xq + r, x 2 q + 2xr, xp + yq + crx 2 p + 2xyq + 2(y + cx) r[3] p − yr, q + xr, r, xq, xp − yq, yp[4]p, q, r, xq + yr, 2xp + yqx 2 p + xyq + 1 2 y2 rLe paramètre c est ici essentiel dans les deux cas [1] et [2] et ne peutpas être supprimé.Comme nous l’avons montré dans les précédents paragraphes, chacundes quatre groupes [1] . . . [4] laisse invariante une unique famillede ∞ 2 courbes, à savoir la famille : x = const., y = const. Maintenant,nous voulons encore ajouter que ces quatre groupes sont entièrementsystatiques 3 .En effet, les transformations infinitésimales des quatre groupessus-nommés commutent toutes avec la transformation infinitésimale r,2 Le langage contemporain appelle équivalentes deux structures géométriques quine diffèrent l’une de l’autre que par un changement de coordonnées ponctuelles.3 Soit X 1 , . . . , X m un groupe fini continu de transformations locales d’une variétéà n dimension munie des coordonnées (x 1 , . . .,x n ). Un point (x 0 1 , . . .,x0 n ) enposition générale admet un certain nombre m − q de transformations infinitésimalesY 1 , . . . , Y m−q qui le laissent au repos, cf. les rappels de la note p. 178. Dans certainescirconstances, il peut exister une sous-variété connexe non vide Λ (avec des singularitéséventuelles) passant par ce point dont chaque point individuel est laissé fixepar toutes les transformations du sous-groupe engendré par Y 1 , . . . , Y m−q , qui n’estautre que le sous-groupe d’isotropie de (x 0 1 , . . .,x0 n ). Dans ce cas, le groupe est ditsystatique, concept introduit par Lie en 1884–85. D’après le Chap. 24 du Tome I, enreprenant les notations de la note p. 178, les équations du plus grand tel ensemble Λsont : ϕ jk (x 1 , . . . , x n ) = ϕ jk (x 0 1 , . . . , x0 n ) pour j = 1, . . .,m − q et k = 1, . . .,q. SiΛ est l’ensemble vide, le groupe est dit asystatique.