Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

252 Division V. Chapitre 21. § 96.En calculant les crochets de ces transformations par paires, on déduitenfin que tous les α µν s’annulent 6 .Avec cela, nous sommes parvenus au résultat que, sous les hypothèsesposées, le groupe linéaire homogène réel (29) peut toujours êtresupposé de la forme :x ′ 1 p′ 2 − x′ 2 p′ 1 , x′ 2 p′ 3 − x′ 3 p′ 2 , x′ 3 p′ 1 − x′ 1 p′ 3 .Mais il découle de là que chaque groupe réel de transformations qui satisfaitnos Axiomes III et IV dans le voisinage de chaque point réel :x 0 1 , x0 2 , x0 3 en position générale contient trois transformations infinitésimalesdu premier ordre en les x ν −x 0 ν, que l’on peut s’imaginer rapportéesà la forme :(x µ − x 0 µ ) p ν − (x ν − x 0 ν ) p µ + · · · (µ, ν =1, 2,3; µ < ν),alors qu’au contraire, il ne contient pas d’autres transformations infinitésimalesdu premier ordre, et en particulier aucune de la forme :(x 1 − x 0 1) p 1 + (x 2 − x 0 2) p 2 + (x 3 − x 0 3) p 3 + · · · .Mais avec cela, la détermination de tous ces groupes est ramenée auproblème qui a déjà été résolu au § 84 (p. 365 sq.). Ainsi, nous pouvonstout d’abord en conclure que les groupes concernés sont finis, etpour préciser, qu’ils comportent six paramètres. En outre, on obtientqu’ils sont semblables, via une transformation ponctuelle réelle, soit augroupe des mouvements euclidiens, soit au groupe projectif réel d’unedes deux surfaces du second degré :x 2 1 + x2 2 + x2 3 + 1 = 0, x2 1 + x2 2 + x2 3 − 1 = 0.Par conséquent, chaque groupe réel de l’espace trois fois étenduqui satisfait nos Axiomes III et IV peut être transformé, via une transformationponctuelle réelle, soit en le groupe des mouvements euclidiens,soit en l’un des deux groupes de mouvements non-euclidiens. En6 Posons R µν ′ := x′ µ p′ ν −x′ ν p′ µ (générateur infinitésimal des rotations autour de ladroite {x ′ µ = x ′ ν = 0}) et D ′ := x ′ 1p ′ 1+x ′ 2p ′ 2+x ′ 3p ′ 3 (générateur infinitésimal des homothétiesde centre l’origine). On a les relations de commutation [ R 12 ′ , 23] R′ = R′[ ] 13 ,R′12 , R 13′ = −R′23 , [ R 13 ′ , ] R′ 23 = −R′12 et aussi [ R µν ′ , D′] = 0. Il en découle quele crochet de Lie :ˆR′ 12 +α 12D ′ , R 23+α ′˜ ′ 23D = ˆR˜12, ′ R 23′ + α23ˆR′ 12 , D ′˜ + α ˆD′ 12 , R 23˜ ′ + α12α 23ˆD′ , D ′˜= R ′ 13= λ`R ′ 13 + α 13D ′´qui doit être combinaison linéaire des trois générateurs infinitésimaux R µν ′ + α µν D ′ne peut l’être que lorsque α 13 = 0, avec λ = 1. De même, α 12 = 0 et α 23 = 0.