Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

300 Division V. Chapitre 23. § 102.équations qui existent entre lui et les points mobiles restants, nous demandonsseulement qu’après fixation d’un point, chaque autre point soit parfaitementlibre, tant qu’il n’est pas limité par les équations existant entre lui et lepoint fixé. À vrai dire, nous ajoutons encore l’exigence apparemment nouvellequ’une pseudosphère ne passe jamais par son centre, mais cette exigence n’estrien de plus qu’une version précise de ce que Monsieur de Helmholtz a aussidemandé implicitement. En effet, ce dernier exige en particulier qu’après fixationdu point : y1 0,y0 2 ,y0 3 , chaque autre point puisse se mouvoir d’une manièrecomplètement libre sur la pseudosphère passant par lui et centrée en le point :y1 0,y0 2 ,y0 3 . Si maintenant une des pseudosphères en question passait par soncentre, alors, après fixation de : y1 0,y0 2 ,y0 3 , aucun point P de cette pseudosphèrene pourrait se mouvoir de manière parfaitement libre sur sa pseudosphère, carparmi les transformations non-dégénérées de G qui laissent au repos le point :y1 0,y0 2 ,y0 3 , il n’y en a aucune qui transforme le point P en le point invariant :y1 0,y0 2 ,y0 3 .Venons-en maintenant à la détermination de tous les groupes quisatisfont nos axiomes.Nous démontrons en premier lieu que chaque groupe de cette espèceest transitif et que deux points finiment éloignés l’un de l’autre ontun et un seul invariant relativement à G.Si G était intransitif, il laisserait sûrement invariantes ∞ 1 surfacesréelles dont les équations pourraient être rapportées, au moyen d’unetransformation ponctuelle réelle, à la forme : x 3 = const. Si maintenantnous fixions un point réel : y1 0, y0 2 , y0 3 en position générale, alors chaqueautre point : x 0 1, x 0 2, x 0 3 pourrait évidemment encore occuper seulementles positions qui satisfont l’équation : x 3 = x 0 3, et par conséquent,l’équation (6) serait nécessairement de la forme : x 3 = x 0 3 . Donc la pseudosphèrecentrée en le point : y1 0, y0 2 , y0 3 serait représentée par l’équation: x 3 = const., à la suite de quoi une de ces pseudosphères passeraitpar son centre, ce qui est exclu. Ainsi, G ne peut pas être intransitif,mais il doit au contraire être transitif.En outre, il découle de l’Axiome IV qu’après fixation d’un pointréel en position générale, chaque autre point réel peut occuper (en général)encore exactement ∞ 2 positions différentes. Ainsi, il est clair quepar l’action de G, chaque paire de points de R 3 ne peut pas être transforméeen chaque autre paire de points, mais plutôt : une paire de pointsreçoit, via l’action de G, au maximum ∞ 5 positions différentes. Parconséquent, si Xf est une transformation infinitésimale quelconque deG, et si Y f a la même signification qu’à la page 292, alors il n’y a sûrement,parmi l’ensemble des équations : Xf +Y f = 0, pas plus que cinqéquations qui sont indépendantes les unes des autres, donc ces équations