Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 193Les calculs effectués pour le premier cas montrent directementque les cinq premières transformations infinitésimales (29) peuvent êtremises sous la forme :p, q, xq + r, xp + yq, xp − yq − 2zr.D’un autre côté, comme les crochets :[p, x 2 p + xyq + ϕ 6 r ] = 2xp + yq + ∂ϕ 6∂x r[q, x 2 p + xyq + ϕ 6 r ] = xq + ∂ϕ 6∂y r[xp + yq, x 2 p + xyq + ϕ 6 r ] = x 2 p + xyq +{x ∂ϕ 6∂x + y ∂ϕ }6r∂ydonnent immédiatement 20 :∂ϕ 6∂x = −z, ∂ϕ 6∂y = 1,x ∂ϕ 6∂x + y ∂ϕ 6∂y = ϕ 6 = y − xz,nous obtenons les six transformations infinitésimales :{p, q, xq + r, xp + yq, xp − yq − 2zr(30)x 2 p + xyq + (y − zx) r.Celles-ci constituent manifestement un groupe à six paramètres 21 quiprovient aussi par extension [durch Erweiterung] du groupe projectif àsix paramètres du plan :p, q, xq, xp + yq, xp − yq, x 2 p + xyq,de la même manière que le groupe (28) provient par extension du groupelinéaire général du plan.Cependant, le groupe (30) ne fait pas non plus partie des groupesque nous recherchons. En effet, l’origine : x = y = z = 0 qui est20 Rappelons que les membres de droite de ces trois crochets doivent êtrecombinaisons linéaires à coefficients constants des six transformations infinitésimales(29) — dont les cinq premières sont déjà normalisées —,21 En effet, on peut se convaincre sans aucun calcul de la stabilité par crochetsgrâce à la propriété générale ([124, 11, 125, 109]) que les crochets entre prolongements[ X (1)j , X (1)kl] ∑ 6 =l=1 c jkl X (1) se comportent exactement de la même manièreque les crochets [ X k , X l]=∑ 6l=1 c jkl X l entre les transformations infinitésimalesinitiales.