Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 241engendrent aussi un groupe 2 transitif, qui toutefois n’est pas nécessairementà six paramètres. Ce groupe (20) n’est autre que le groupe réduitrelatif au groupe (17), (18) de tous les mouvements.L’hypothèse introduite tacitement par Monsieur de Helmholtz amaintenant simplement le sens que le groupe (19) satisfait alors chaqueaxiome ayant été posé au sujet de tous les mouvements qui sont encorepossibles après fixation d’un point, lorsque le groupe (17) satisfaitces axiomes. Mais d’un autre côté, il est clair que le groupe (17),(18) de tous les mouvements satisfait tous les axiomes helmholtzienssi et seulement si le groupe (17) satisfait encore les axiomes restantsqui s’appliquent après fixation de l’origine des coordonnées. Enfin, ilest évident qu’entre les deux groupes (20) et (19), on a exactement lamême relation qu’entre les groupes (17), (18) et (17). Par conséquent,ce qui a été admis par Monsieur de Helmholtz revient simplement à supposerque le groupe réduit (20) satisfait alors toujours chaque exigencequ’il a posée, lorsque le groupe initial (17), (18) les satisfait.Ceci, Monsieur de Helmholtz l’a admis tacitement, sans la moindreindication de démonstration, et sans faire aucune allusion au fait quecela nécessite à vrai dire une démonstration. Par une série d’exemples * ,nous voulons montrer que ce qui a été admis n’est pas fondé. Nous allonstrouver qu’un groupe transitif à six paramètres de R 3 peut très biensatisfaire certaines des exigences helmholtziennes, sans que le grouperéduit qui lui est associé les satisfasse ; d’un autre côté, nous allons voirqu’à un groupe transitif à six paramètres qui ne satisfait pas certainesdes exigences helmholtziennes peut très bien être associé un groupe réduitqui satisfait les exigences en question.2 Voici la justification. Dans des coordonnées (x 1 , . . .,x n ), soit un groupe linéairehomogène quelconque constitué d’un certain nombre m n 2 de générateursinfinitésimaux :L ν = ∑ n(∑ nj=1 i=1 α )νij x ∂ i ∂x(ν =1··· m)jà coefficients linéaires, donc par hypothèse stable par crochets de Lie. Alors la collection:p 1 , . . . , p n , L 1 , . . . , L mobtenue en leur adjoignant toutes les transformations infinitésimales du groupe (transitifet commutatif) des translations est elle aussi stable par crochets (donc engendreun groupe au sens de Lie), puisque :[ ] [pk , L ν = ∂∂x k, ∑ n(∑ nj=1 i=1 α )νij x ∂] ∑ ni ∂x j=j=1 α ∂νkj ∂x j= ∑ nj=1 α νkj p j .*Lie a communiqué ces exemples pour la première fois dans les Comptes Rendusde 1892 (Vol. 114, p. 463).