Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 21.Critique des recherches helmholtziennes.Monsieur de Helmholtz a apporté, dans son travail déjà cité à lapage 162, un traitement du problème de Riemann-Helmholtz que nousvoulons maintenant examiner de plus près.Nous commençons (dans le § 91) par restituer la teneur desaxiomes qu’il a posés. Ensuite (dans les § 92 et 93), nous établissonsquelles contenus ces axiomes peuvent recevoir lorsqu’on se sertde la manière dont on s’exprime dans la théorie des groupes. Dans le§ 94 nous fournissons une critique des conclusions que Monsieur deHelmholtz a tirées de ses axiomes au sujet de l’espace étendu dans troisdirections, et nous montrons qu’il est parvenu à son résultat final enprésupposant tacitement toute une série d’hypothèses qui sont absolumentincorrectes.Si l’on veut supprimer ces défauts très substantiels des développementshelmholtziens, il se présente deux voies différentes : on peut soitlaisser complètement de côté les axiomes de M. de Helmhotz et seulementenvisager ses calculs, soit partir de ses axiomes comme point dedépart, sans prendre en considération ses calculs.Nous nous engageons dans la première voie au § 96, où nous montronsquels axiomes doivent être posés, afin de parvenir au but en effectuantdes calculs qui sont analogues, par leurs idées fondamentales,aux calculs helmholtziens.Dans le § 96, nous empruntons la deuxième voie, et nous exposeronsséparément quelles conclusions la théorie des groupes permetde tirer à partir des axiomes de Helmhotz. On obtiendra alors commerésultat que ces axiomes (si on les interprète d’une manière assez voisine)suffisent certes à caractériser les mouvements euclidiens et noneuclidiensde l’espace à trois dimensions, mais qu’en tout cas, l’un desaxiomes de Helmholtz, à savoir l’axiome de monodromie, est superflu.Le résultat ainsi obtenu soulève la question relativement proche :savoir si l’on ne peut pas se passer aussi d’autres parties des axiomes deHelmholtz. La réponse à cette question sera donnée dans le Chapitre 23 ;on montrera que les axiomes de Helmholtz restants renferment aussi deséléments superflus.