Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 115un champ de vecteurs quelconque X = ∑ ni=1 ξ i(x) ∂∂x ivers :n∑X := X(x i ) ∂ .∂x ii=1est transféréDe la même manière que l’on pouvait écrire l’équation f = f, onpeut maintenant écrire X = X, étant entendu que ces deux écrituresn’ont de sens que si l’on remplace partout x par x (ou partout x par x).À présent, comment sont transformés les groupes à un paramètre ?L’énoncé suivant (cf. [40, 88, 154]), que nous ne redémontrerons pas,découle aisément des considérations précédentes.Proposition. Le nouveau groupe à un paramètre x ′ = exp(tX)(x) associéau nouveau champ de vecteurs X = ∑ ni=1 X(x i) ∂∂x ipeut êtreretrouvé à partir de l’ancien x ′ = exp(tX)(x) grâce à la formule canonique:exp ( tX ) (x) = exp(tX)(x) ∣ x=x(x).En d’autres termes, l’ancien groupe à un paramètre :x ′ i = x i + t 1 X(x i) + t21·2 X2 (x i ) + · · · (i = 1 ···n)est transféré vers le nouveau groupe à un paramètre :x ′ i = x i + t 1 X(x i) + t21·2 X2 (x i ) + · · · (i =1··· n),où la variable t reste la même dans les deux collections de n équations.Après ces préparatifs, nous pouvons maintenant revenir à la questionsoulevée à la fin du § 3.5 : comment reconstituer les équationsx ′ i = f i (x; a) d’un groupe continu fini de transformations à partir deses transformations infinitésimales X 1 , . . .,X r ? En prenant une combinaisonlinéaire arbitraire X := λ 1 X 1 + · · · + λ r X r de ces transformations,après fixation des constantes λ k , on peut considérer le groupeà un paramètre exp(tX)(x) qui est engendré par X. Autrement dit, enconsidérant après-coup que les constantes λ k peuvent aussi redevenirvariables, on obtient de nouvelles équations de transformations :x ′ i = exp ( t λ 1 X 1 + · · · + t λ r X r)(xi )=: h i(x; t, λ1 , . . .,λ r)(i = 1 ...n)paramétrées non seulement par le « temps » t, mais aussi par cesconstantes arbitraires λ k . La réponse positive que l’on a déjà devinée