Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

54 2.3. Rendre objectives les propriétés de la géométriedans laquelle κ est une constante réelle, que l’on peut même supposeraprès dilatation être égale à −1 (géométrie hyperbolique), à 0 (géométrieeuclidienne) ou à 1 (géométrie sphérique). Dans un autre passage,Riemann fournit quelques explications.Le caractère commun de ces variétés dont la mesure de courbureest constante, peut aussi être exprimé en disant que les figures peuventse mouvoir 5 sans élargissement [Dehnung] en elles. Car il est évidentque les figures en elles ne pourraient pas coulisser [verschiebar sein] etpivoter [drehbar sein] librement, si la mesure de courbure n’était pas lamême en chaque point et dans toutes les directions. Mais d’autre part,les rapports métriques de la variété sont complètement déterminés parla mesure de courbure ; donc les rapports métriques autour d’un pointet dans toutes les directions sont exactement les mêmes qu’autour d’unautre point, et par conséquent, à partir de ce premier point, les mêmesconstructions peuvent être transférées, d’où il s’ensuit que, dans lesvariétés dont la mesure de courbure est constante, on peut donner auxfigures chaque position quelconque. [133], p. 281.Toutefois, au-delà du niveau intuitif, la conceptualisation mathématiquerigoureuse de ces affirmations demeure essentiellement problématiquepour Engel et pour Lie. Riemann semble exprimer que l’exigenced’après laquelle la mesure de courbure doit être partout constantepossède la même signification que certaines exigences concernant lamobilité des figures. Dans un premier temps, Engel et Lie cherchent àrestituer l’enchaînement des idées de Riemann d’une manière quelquepeu plus précise, « quoique non absolument précise », ajoutent-t-ils immédiatement.Riemann cherche, parmi les variétés dont la longueur d’un élémentcourbe a la forme (5), toutes celles dans lesquelles les figurespeuvent occuper chaque position quelconque, c’est-à-dire, dans lesquellesles figures peuvent coulisser et tourner, sans subir d’élargissement.Il parvient à ce résultat que les variétés dont la mesure decourbure est constante en tous lieux sont les seules dans lesquelles lesfigures sont mobiles de cette manière.p. 280 ci-dessous.Plusieurs problèmes de conceptualisation se dessinent donc : Qu’estceque le « mouvement » ? Qu’entend-on par « figures » ? Que veutdire « coulisser » ? Que veut dire « tourner » ? Que veut dire « sanssubir d’élargissement » ? C’est le physicien allemand Hermann vonHelmholtz qui va tenter en 1868 de donner un sens mathématique précisà ces notions intuitives.5 Note de Engel et Lie : « Ici à vrai dire, Riemann aurait même dû ajouter le mot‘librement’ ».