Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 45Nécessité pour la pensée, pour la conception, et surtout pour l’intuition :nécessité de ressaisir la courbure sous un angle bidimensionnel etgaussien, car le pluridimensionnel nous transcende. Étonnant coup dechance riemannien que confirmera pleinement la réinterprétation tensorielle: tous les invariants d’ordre deux d’une métrique quadratique infinitésimalepeuvent être obtenus en se restreignant à des surfaces qu’oninscrit dans la variété et qu’on oriente à volonté dans des directions arbitraires.Toutefois, la réduction s’arrête à la dimension 2, car le tranchagepar des objets de dimension 1 rend la courbure invisible. En effet,chaque courbe (au moins de classe C 1 ) est intrinsèquement équivalente(isométrique 86 ) à un simple segment de droite : la régression en dimensiondu caractère intrinsèque de la courbure doit s’arrêter net à la dimension2. Et inversement, le passage de la dimension 1 à la dimension2 imposait un saut qualitatif inattendu que Gauss avait su découvrir :naissance de la courbure intrinsèque des surfaces, courbure qui demeureponctuellement invariable dans toute transformation isométrique, alorsque toutes les lignes tracées dans une surface sont dépossédées de touterigidité intrinsèque.Par ailleurs, la découverte de Gauss aurait pu faire croire qu’en dimensionn 3, d’autres phénomènes spécifiques et d’autres invariantsinattendus nouveaux émergeraient, qui seraient eux aussi propres aux85 Expressio √∑ b ι,ι ′ ds ι ds ι ′ spectari potest tanquam elementum lineare in spatiogeneraliore n dimensionum nostrum intuitum transcendente. Quodsi in hoc spatioa puncto (s 1 , s 2 , . . . , s n ) ducantur omnes lineae brevissimae, in quarum elementis initialibusvariationes ipsarum s sunt ut αds 1 +βδs 1 : αds 2 +βδs 2 : · · · : αds n +βδs n ,denotantibus α et β quantitates quaslibet, hae lineae superficiem constituent, quam inspatium vulgare nostro intuitui subjectum evolvere licet. Ici, les deux éléments infinitésimaux(ds 1 , ds 2 , . . . , ds n ) et (δs 1 , δs 2 , . . .,δs n ) basés en un point de coordonnées(s 1 , s 2 , . . . , s n ) sont supposés être linéairement indépendants, et la combinaison linéairegénérale :(αds1 + βδs 1 , αds 2 + βδs 2 , . . ., αds n + βδs n)comprend alors tous les éléments linéaires contenus dans le plan qu’ils engendrent.Riemann considère donc la surface locale et finie qui est obtenue en intégrant toutesles géodésiques issues du point dans toutes ces directions et il s’imagine alors qu’unetelle surface, interne à la multiplicité (variété) initiale, pourrait en être extraite afinde se réaliser visuellement dans un espace tridimensionnel auxiliaire. À partir de cetextrait, on pourrait même s’imaginer que l’invention riemannienne de la courbure parsectionnement obéissait à simple exigence d’appropriation intuitive.86 — grâce à la paramétrisation par longueur d’arc, ou à la rectification d’un lacetpar le geste physique —