Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 99écrit ici sous la forme d’un opérateur de dérivation d’ordre un. On peutaussi le considérer comme une famille de vecteurs colonnes :τ ( ∂f 1∂a k, · · · , ∂fn∂a k) ∣ ∣∣x = τ( ξ k1 , . . .,ξ kn) ∣ ∣∣xbasés aux points x, où τ (·) désigne l’opérateur de transposition des matrices,qui transforme bien sûr les lignes horizontales en lignes verticales.Alors on peut réécrire ce mouvement infime sous la formex ′ = x + ε Xk e + · · · , ou bien encore, de manière équivalente :x ′ i = x i + ε ξ ki (x) + · · ·(i = 1 ···n),où les termes supprimés “+ · · · ” sont bien entendu des O(ε 2 ) uniformespar rapport à x, de telle sorte que d’un point de vue géométrique, x ′ est« poussé » infinitésimalement à partir de x d’une longueur ε le long duvecteur Xke ∣x, comme l’illustre la partie gauche de notre figure (aveck = 1).λa 3a 31 1X e 1px + ε X e 1e a 1e a 1a 2a 2X ex + ε X epDéplacement infinitésimal x ′ = x + ε X e de tous les pointsPlus généralement, toujours à partir du paramètre identité e, onpeut ajouter à e un incrément infinitésimal arbitraire :(e1 + ε λ 1 , . . .,e k + ε λ k , . . ., e r + ε λ r),où τ (λ 1 , . . .,λ r ) ∣ eest un vecteur tangent constant basé en e dans l’espacedes paramètres. Alors grâce à la linéarité de l’application tangente,c’est-à-dire grâce à la règle de dérivation composée en coordonnées, ilen découle que :n∑f i (x; e + ε λ) = x i + ε λ k · ∂f i(x; e) + · · ·∂a k= x i + εk=1n∑λ k · ξ ki (x) + · · · ,de telle sorte que tous les points x ′ = x+ε X + · · · sont simultanémentet infinitésimalement déplacés le long du champ de vecteurs :k=1X := λ 1 X e 1 + · · · + λ r X e r