Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

84 3.1. Paramètres essentielsen série entière par rapport à x − x 0 dans un voisinage connexe (nonnommé) d’un point fixé x 0 = (x 10 , . . .,x n0 ), ce qui nous donne :f i (x; a) = ∑ α∈N n F i α (a) (x − x 0) α ;ici, pour tout multiindice α = (α 1 , . . .,α n ) ∈ N n , nous avons noté demanière abrégée le monôme :(x − x 0 ) α = (x 1 − x 10 ) α1 · · ·(x n − x n0 ) αn .Comme coefficients des (multi-)puissances (x−x 0 ) α dans une telle sérieentière, il apparaît un nombre infini de certaines fonctions analytiquesF i α = F i α(a) des paramètres (a 1 , . . .,a r ) qui sont définies dans undomaine fixe de C r . Alors nous prétendons que les paramètres a k quisont éventuellement superflus peuvent être détectés en étudiant le ranggénérique de l’application infinie des coefficients :F ∞ : C r ∋ a ↦−→ ( F i α(a) ) α∈N n ,1in∈ C ∞ ,c’est-à-dire, d’après la définition même du rang (générique) d’une application,en étudiant le rang générique 3 ρ ∞ de sa matrice jacobienne :( ∂Fi ) α∈N n , 1inJac F ∞ (a) = α(a) ,∂a j 1jrqui est considérée ici comme une matrice ayant r lignes indexées parl’entier j, et possédant une infinité de colonnes, indexées simultanémentpar le multiindice α et par l’entier i.À première vue, ces considérations techniques peuvent paraîtrecomplexes, mais il n’en est rien, puisqu’il est au contraire tout à faitnaturel que la manière dont les fonctions f i (x; a) dépendent réellementdes paramètres (a 1 , . . .,a r ) doive être déchiffrée sur l’ensembledes fonctions-coefficients F i α (a 1, . . .,a r ).Si par exemple il existe un paramètre, disons a 1 , tel qu’aucunefonction f i (x; a) n’en dépend, d’où il découle que tous les coefficientsF i α (a) sont indépendants de a 1, alors cette application F ∞ a un rangqui est trivialement r − 1, parce que la première ligne de sa matricejacobienne Jac F ∞ (a) est alors identiquement nulle, et puisque le rang3 Pour une définition, voir la note p. 81, dont les considérations se généralisentsans modification au cas où il y a une infinité de colonnes. Techniquement, ρ ∞ estdéfini comme le plus grand entier ρ min(r, ∞) tel qu’il existe au moins un mineurde taille ρ × ρ dans cette matrice jacobienne ( ∂Uαi∂a j(a) ) α∈N n , 1in(de taille r × ∞)1jrqui ne s’annule pas identiquement en tant que fonction de a. Alors tous les mineursde taille (ρ ∞ + 1) × (ρ ∞ + 1) s’annulent identiquement.