Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 249ils retournent finalement et simultanément, mais sans revenir en arrière,à leur situation initiale ; ou bien, pour exprimer cela plus précisément :si :x ′ 1 = α 1(t) x ′ + α 2 (t) y ′ + α 3 (t) z ′y ′ 1 = β 1(t) x ′ + β 2 (t) y ′ + β 3 (t) z ′z ′ 1 = γ 1 (t) x ′ + γ 2 (t) y ′ + γ 3 (t) z ′sont les équations finies d’un tel sous-groupe à un paramètre sous leurforme canonique, il se produit finalement le cas, lorsque la variableréelle t croît continuellement à partir de 0 et pour une certaine valeurfinie positive de t, que : x ′ 1 : y ′ 1 : z ′ 1 est proportionnel à : x ′ : y ′ : z ′ .Nous allons montrer que ces axiomes suffisent entièrement à caractériserles mouvements euclidiens et non-euclidiens.Tout d’abord, nous devons déterminer quelle forme possède legroupe linéaire homogène mentionné dans les axiomes.Soit : x ′ 1 , x′ 2 , x′ 3 les coordonnées de l’élément linéaire passant parun point fixé en position générale ; d’après les hypothèses posées, legroupe linéaire homogène g attaché à ce point contient alors trois transformationsinfinitésimales indépendantes de la forme :(29)1,2,3∑µ να kµν x ′ µ p′ ν (k = 1,2, 3).Parmi ces transformations infinitésimales, il peut y en avoir au plus une 2qui fixe chaque élément linéaire : x ′ 1 : x′ 2 : x′ 3 , et par conséquent il estcertain que la variété deux fois étendue des ∞ 2 éléments linéaires :x ′ 1 : x ′ 2 : x ′ 3 est transformée par g via l’action d’un groupe projectif g,qui possède soit trois, soit deux paramètres.Si nous rapportons projectivement notre variété des ∞ 2 élémentslinéaires aux points réels d’un plan, alors g se présente comme ungroupe projectif g ′ du plan ayant deux ou trois paramètres. Chaque sousgrouperéel à un paramètre de g ′ est alors constitué de telle sorte quedans la forme canonique de ses équations finies :x ′ = ϕ(x, y; t),y ′ = ψ(x, y; t),les quantités x ′ et y ′ sont des fonctions périodiques de la variable réellet. Tous les points réels qui ne restent pas invariants par l’action d’un telgroupe à un paramètre, se meuvent alors sur des courbes réelles qu’ilsparcourent continûment dans toute leur extension, et pour préciser, de2 Dans le groupe linéaire en dimension n quelconque, seule l’homothétie de générateurinfinitésimal x ′ 1 p′ 1 + · · · + x′ n p′ n laisse fixe toutes les éléments linéaires.