Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 267Nous cherchons maintenant tous les groupes réels continus de R 3qui possèdent la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel deposition générale.Soit G un groupe ayant la qualité requise et soit P le point réelde position générale en lequel G possède la libre mobilité dans l’infinitésimal.Si on fixe ensuite P et en outre aussi un élément linéairequelconque passant par lui, alors chaque élément de surface passant parles deux doit encore pouvoir tourner continûment autour de l’élémentlinéaire en question, sinon aucun mouvement continu ne serait encorepossible après fixation de l’élément linéaire concerné, en contradictionavec notre hypothèse.Se laisse déduire de là que G est transitif. En effet, si ∞ 1 surfacesréelles : ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ) = const. restaient invariantes, alors P en communavec le plan tangent à la surface : ϕ = const. passant par lui détermineraitun élément de surface qui ne pourrait tourner autour d’aucunélément linéaire contenu en lui. D’un autre côté, si ∞ 2 courbes réellesrestaient invariantes, alors on pourrait les arranger d’une infinité de manièresen une famille de ∞ 1 surfaces invariantes, et l’on reviendrait doncà la situation dont on a démontré à l’instant qu’elle est impossible.À travers notre point P passent ∞ 2 éléments linéaires : dx 1 : dx 2 :dx 3 , qui forment une variété plane deux fois étendue. Si l’on fixe P ,alors cette variété est transformée par un groupe réel projectif g qui estmanifestement constitué de telle sorte qu’après fixation d’un élémentlinéaire réel quelconque, chaque élément de surface le contenant peuttourner autour de l’élément linéaire, tandis qu’absolument aucun mouvementcontinu n’est encore possible, aussitôt qu’on fixe un élémentlinéaire réel quelconque et un élément de surface quelconque le contenant1 . Mais en rapportant maintenant les ∞ 2 éléments linéaires passantpar P de manière projective aux points réels d’un plan, le groupe gse transforme alors en un groupe réel projectif g ′ de ce plan qui estisomorphe-holoédrique à g, et comme les éléments de surface réels passantpar P correspondent en même temps aux éléments linéaires réelsde ce plan, nous reconnaissons alors immédiatement que le groupe g ′possède la libre mobilité dans l’infinitésimal sans exception en tousles points de ce plan. D’après le Théorème 39, il découle de là queg ′ est transitif à trois paramètres et qu’il peut être transformé, via unetransformation réelle projective du plan, en le groupe de la conique :x 2 + y 2 + 1 = 0. Par conséquent le groupe g ′ est aussi transitif à trois1 Fixer ou bien seulement un élément-plan ou bien seulement un élément-lignelaisse bien entendu encore des degrés de liberté.