Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

134 3.8. Équations de structurenon vide A 1 ⊂ A , et où les fonctions ξ ji (x ′ ) sont holomorphes dansX , alors en introduisant les r transformations infinitésimales :n∑X k := ξ ki (x) ∂ ,∂x ii=1l’assertion suivante est vérifiée : toute transformation x ′ i = f i (x; a)dont les paramètres a 1 , . . .,a r se trouvent dans un petit voisinage d’unparamètre quelconque fixé a 0 ∈ A 1 peut être obtenue en exécutant enpremier lieu la transformation :x i = f i (x 1 , . . .,x n ; a 0 1 , . . .,a0 r )(i = 1 ···n),et en second lieu, en exécutant une certaine transformation :x ′ i = exp ( tλ 1 X 1 + · · · + tλ r X r)(xi ) (i = 1 ··· n)du groupe à un paramètre qui est engendré par une combinaison linéaireappropriée des X k , où t et les λ 1 , . . .,λ r sont des nombres complexes« petits ».Spécialement, cet énoncé technique sera utilisé par Engel et Liepour établir que toutes les fois que r transformations infinitésimalesX 1 , . . .,X r constituent une algèbre de Lie (voir ci-dessous), la compositionde deux transformations de la forme x ′ = exp ( )tλ 1 X 1 + · · · +tλ r X r est à nouveau de la même forme, de telle sorte que la totalité detoutes ces transformations constitue un groupe.Démonstration. Les arguments s’inspirent de ceux qui ont été développésp. 118 dans un contexte local ; ici, c’est a 0 ∈ A 1 qui remplacele paramètre identité.D’un premier côté, fixons donc a 0 ∈ A 1 et introduisons les solutionsa k = a k (t, λ 1 , . . ., λ r ) du système suivant d’équations différentiellesordinaires :da kr∑dt = λ j ˜ψjk (a) (k = 1 ··· r),j=1avec la condition initiale a k (0, λ 1 , . . .,λ r ) = a 0 k , où λ 1, . . .,λ r sont desparamètres complexes (petits) et où, comme précédemment, l’inverse˜ψ jk (a) de la matrice ψ jk (a) est holomorphe dans A 1 .D’un deuxième côté, introduisons le flot local :exp ( tλ 1 X 1 + · · · + tλ r X r)(x) =: h(x; t, λ)d’une combinaison linéaire générale λ 1 X 1 + · · · + λ r X r des r transformationsinfinitésimales X k = ∑ ni=1 ξ ki(x) ∂∂x i, où x est supposé être